精品解析：上海市曹杨二中附属江桥实验中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试卷

2024学年度第二学期七年级第二次阶段练习数学试卷 考试时间90分钟 满分100分 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 3. 若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 4. 下列判断中，不正确的是（ ） A. 全等三角形的面积一定相等 B. 全等三角形的周长一定相等 C. 两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D. 两个等边三角形一定全等 5. 对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 6. 如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 二、填空题（每题2分，共24分） 7. x的3倍减去y的平方的差不小于5，用不等式表示是：______． 8. 如图，四边形中，已知，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是_________． 9. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为______． 10. 如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段_______的长． 11. 若三角形三个外角的比为，则它是一个_____三角形． 12. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 13. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 14. 如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数为______． 15. 如图，已知，，，则_____． 16. 如图，在中，，，CD平分，于E，若，则的周长为___________． 17. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 18. 若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为_________． 三、解答题（第19题4分，第20~21题每题9分，第22~23题每题9分，第24题12分） 19. 解不等式组：． （1）当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 20. 如图，在中，已知，点、、分别在边、、上，且，，请说明与相等的理由． 21. 求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 22. 如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 23. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 24. 如图，已知，D是上一点，，过B作，交于点F． （1）求证：； （2）如果，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期七年级第二次阶段练习数学试卷 考试时间90分钟 满分100分 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，只有当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和． 【详解】设第三边长度为，根据三角形三边关系得：， 求得， 故四个选项里面，A不满足． 故选：A． 3. 若一个三角形的三条高所在直线的交点在此三角形外，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部， 那么这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状． 4. 下列判断中，不正确的是（ ） A. 全等三角形的面积一定相等 B. 全等三角形的周长一定相等 C. 两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D. 两个等边三角形一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质等知识．根据等边三角形的性质和全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：全等三角形的面积一定相等，故选项正确； 全等三角形的周长一定相等，故B选项正确； 两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关，故C选项正确； 两个等边三角形，其三个角分别对应相等，都是，但对应边不一定相等， 两个等边三角形不一定全等，故D选项错误． 故选：D 5. 对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 6. 如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. x的3倍减去y的平方的差不小于5，用不等式表示是：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据题意列出不等式，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式，掌握不小于即为大于或等于． 8. 如图，四边形中，已知，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法可以由证明． 【详解】解：添加． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握，，证明两个三角形全等是解题的关键，此题难度不大． 9. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段_______的长． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点， ∴ ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 11. 若三角形三个外角的比为，则它是一个_____三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角和、邻补角关系、钝角三角形判定，先利用三角形外角和为，设未知数，求出外角具体度数；再依据邻补角互补，算出内角；最后根据钝角三角形定义（有一个角大于） 判断三角形类型，是多性质综合运用的题目． 【详解】解：设三个外角分别为、、， 三角形的外角和为， 解得：， 三个外角分别为：， 每个外角与其对应的内角互补， 对应外角的内角为 对应外角的内角， 对应外角的内角， 三个内角为、、，和为， 三角形为钝角三角形． 故答案为：钝角． 12. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 13. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 14. 如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数为______． 【答案】50度## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：因为平分，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为： 15. 如图，已知，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，结合，进一步的利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵，，， ， ，， . 故答案为： 16. 如图，在中，，，CD平分，于E，若，则的周长为___________． 【答案】15cm 【解析】 【分析】先根据AAS判定△ACD≌△ECD得出AC＝EC，AD＝ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到：周长＝BD+DE+EB＝BD+AD+EB＝AB+BE＝AC+EB＝CE+EB＝BC，所以为15cm． 【详解】解：∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝∠ECD ∵DE⊥BC于E ∴∠DEC＝∠A＝90° ∵CD＝CD ∴△ACD≌△ECD ∴AC＝EC，AD＝ED ∵AB＝AC ∴△DEB的周长为：DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝15cm． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 17. 如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么__________°． 【答案】58 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 18. 若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为_________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．分两种情况画出图形，①当，时，设，得．．由，则，即可得到；②当，，时，设．得．则，则，得． ③当，，时．得到．由得到，则，即可得到；④当，，时．先证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：分四种情况讨论： ①如图（1）， 当，时，设． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ②如图（2）， 当，，时，设． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：． ③如图（3）， 当，，时． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图（4） 当，，时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 则完美三角形的顶角度数为或或或． 故答案为：或或或 三、解答题（第19题4分，第20~21题每题9分，第22~23题每题9分，第24题12分） 19. 解不等式组：． （1）当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】（1）， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：， ∴不等式组的解集； 【小问2详解】 解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 20. 如图，在中，已知，点、、分别在边、、上，且，，请说明与相等的理由． 【答案】 证明：∵， ∴（等角对等边）， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应角相等）， ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 即， ∴． 【解析】 【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 【详解】略 21. 求证:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 【答案】 已知：在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：DE=DF． 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵点D是BC边的中点， ∴DB=DC． 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△DEB与Rt△DFC中， , ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（AAS）， ∴DE=DF． 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，然后利用已学知识进行证明． 【详解】略 【点睛】考查命题的证明步骤，等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定．根据命题画出图形是解题的关键． 22. 如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 【答案】 解：∵ ∴，． ∵（对顶角相等）， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ． ∵且 ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度之间的关系找到全等三角形的对应角，再结合已知边相等的条件证明三角形全等，进而得出边的等量关系． 先根据垂直条件得出多个直角，利用同角的余角相等推出两组角相等；结合已知证明和全等；由全等三角形的性质得到和最后通过线段的和差关系说明． 【详解】略 23. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【答案】（1） 证明， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线性质可得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求出，再由两直线平行内错角相等即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 24. 如图，已知，D是上一点，，过B作，交于点F． （1）求证：； （2）如果，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）， 证明如下： 如图，过点D作于点G， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）证得，则结论可得出； （2）过点D作于点G，根据证明，可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $