第十一章 不等式与不等式组 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

参考答案及解析 1． 【答案】< 【分析】本题考查了实数、数轴及不等式，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 2． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 3． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，然后逐项分析即可． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 【详解】原不等式组为：， 联立两个不等式，解集为 ． A. ：不满足 ，排除． B. ：不满足 ，排除． C. 1：满足 ，符合条件． D. 3：不满足 ，排除． 故选： C． 4． 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 5． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 6． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 7． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为：； 故选C． 8． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 9． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为：． 10． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为，即可求解． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 11． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 12． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 13． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 14． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可． 15． 【答案】（1） （2） （3）作图见解析 （4） 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【小问1详解】 解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； 【小问2详解】 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； 【小问3详解】 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： 【小问4详解】 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 16． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 在数轴上表示其解集如下： ∴不等式组的解集为：． 17． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 18． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集是． 19． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 20． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 21． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，分别求出每一个不等式组的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 22． 【答案】，， 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 23． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组 考情分析 高频考点​ 不等式的概念与性质判断：★★★ 核心考查 “不等式的定义”（含不等号：＞、＜、≥、≤、≠）和 “不等式的 3 条性质”，尤其重点是性质 3（不等式两边乘 / 除以同一个负数，不等号方向改变）。 一元一次不等式的解法：★★★★★ 高频考查 “去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 五步解法，核心是系数化为 1 时的不等号方向判断（依据性质 3）。 不等式组的解法与解集确定：★★★★★ 考查“先解每个不等式→再找公共解集” 的流程，重点是解集的取法规则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）和“数轴表示公共解集”。 不等式（组）的实际应用：★★★★ 高频考查场景：①购物方案（如 “总费用不超过预算”）；②生产配套（如 “零件数量满足需求”）；③分配问题（如 “人数不少于座位数”）；④最值分析（如 “最省钱 / 最多生产”），核心是找到不等关系并列出不等式（组） 。 不等式与数轴、代数式的结合：★★★ 考查 “不等式解集与数轴的对应关系”和 “根据不等式求代数式的取值范围”。 命题趋势 基础解法与实际应用结合更紧密 单纯考查 “解不等式（组）” 的题目占比下降（约 30%），更多题目需先根据实际场景列不等式（组），再求解并分析解的实际意义。 未来可能增加 “跨场景融合”，如结合 “统计图表”（根据条形图数据列不等式）、“环保主题”（如垃圾分类运输费用限制），增强题目实用性。 与其他知识点的综合考查增多 与 “二元一次方程组” 结合，先解方程组求基础量（如单价、效率），再列不等式（组）确定取值范围，最后求最值。 与 “一次函数” 结合，用一次函数表示总费用 / 总工作量，结合不等式（组）确定自变量范围，进而求函数最值，提升题目综合性。 强调 “解集的实际意义” 与 “参数问题” 增加 “解的筛选” 题型，求解后需根据实际场景筛选正整数解（如 “人数、商品数量为正整数”），避免出现 “小数人”“负数商品” 等不合理结果。 参数问题占比上升，如 “根据不等式组的解集求参数范围”“根据不等式的解求参数值”，考查逻辑推理能力。 分值分析​ 选择题、填空题（3-4分/题），解答题（5-8分/题），不等式与不等式组是中考 “基础 + 应用” 结合的核心模块，解答题（实际应用）是主要拉分点，直接决定该模块得分高低。 考生备考建议​ 夯实基础：抓性质、练解法牢记 “不等式 3 条性质”，重点标注性质 3（乘除负数变号），可通过 “对比练习” 强化。 针对一元一次不等式解法，按 “五步流程” 刻意练习：①去分母（每一项都乘最小公倍数，不含分母的项也要乘）；②去括号（注意负号分配）；③移项（变号）；④合并同类项；⑤系数化为 1（判断不等号方向），每步标注依据（如 “去分母，依据性质 2”）。 突破不等式组：熟规则、会画图 熟记 “解集取法口诀”：同大取大（如 、同小取小（如、大小小大中间找（如、大大小小无解（如）； 强制 “数轴辅助法”：解不等式组时，先在数轴上分别表示每个不等式的解集，再观察公共部分，避免 “凭感觉取解集”，尤其注意空心点（不含等号）和实心点（含等号）的区别。 攻克应用：译关键词、建模型 整理 “不等关系关键词对照表”，明确对应不等号： 关键词 不等号 示例 至少、不少于 ≥ 至少答对 10 题→x ≥ 10 不超过、最多 ≤ 总费用不超过 500 元→y ≤ 500 超过、多于 ＞ 人数超过 20 人→m ＞ 20 不足、少于 ＜ 时间不足 1 小时→t ＜ 1 应对综合：练结合、析参数 针对 “不等式与方程组结合” 的题目，按 “先解方程组求基础量→再列不等式定范围→最后求最值” 的步骤练习，如 “先求 A、B 商品单价（方程组），再求购买数量范围（不等式），最后求最省费用（一次函数）”；针对 “参数问题”，采用 “特殊值法 + 逻辑推理”：如 “不等式组有解”，可尝试a = 2（有解：2 ＜ x ＜ 3）、a = 3（无解：x ＞ 3且x ＜ 3），进而推出a ＜ 3，培养 “从特殊到一般” 的思维。 错题复盘：抓高频错误点 记录三类典型错误：①性质 3 应用错误（乘负数不等号不变向）；②解集取法错误（如 “取成x ＞ 2”）；③实际应用中不等号翻译错误（如 “至少” 写成 “＞”）； 每道错题标注 “错误原因” 和 “改进方法”，如 “不等号翻译错误：混淆‘不超过’与‘超过’，改进方法：圈画题干关键词并标注对应不等号”。 重点知识点​ 不等式的概念与性质 核心定义 不等式：用不等号表示不等关系的式子，如； 一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数为 1 的整式不等式，如（注意：分式不等式如不是一元一次不等式）。 不等式的 3 条性质 性质 内容 示例 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若a ＞ b，则a + 2 ＞ b + 2、a - 3 ＞ b - 3 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若a ＞ b且c ＞ 0，则ac ＞ bc、 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若a ＞ b且c ＜ 0，则ac ＜ bc、 一元一次不等式的解法 五步解法流程 以 “解不等式” 为例： ①去分母：两边乘 3（最小公倍数），得2x - 1 ＞ 3(x - 2)（注意：不含分母的项 “x - 2” 也要乘 3）； ②去括号：展开得2x - 1 ＞ 3x - 6（注意：3×(-2) = -6，负号不可漏）； ③移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，得2x - 3x ＞ -6 + 1（移项要变号：3x变-3x，-1变+1）； ④合并同类项：得-x ＞ -5； ⑤系数化为 1：两边除以-1（负数），不等号变向，得x ＜ 5。 数轴表示解集 规则：“大于向右画，小于向左画；含等号用实心点（●），不含等号用空心圈（○）”；示例：x ＜ 5的数轴表示：在 5 处画空心圈，向左画射线；x ≥ -2的数轴表示：在 - 2 处画实心点，向右画射线。 ※去分母漏乘：如 “解”，漏乘常数项 1，错写成 “x + 1 ＞ 6”（正确应为 “x + 2 ＞ 6”）；系数化为 1 时不变号：如 “解-3x ＜ 9”，错写成 “x ＜ -3”（正确应为 “x ＞ -3”）。 一元一次不等式组的解法 定义与解集 一元一次不等式组：由两个或两个以上一元一次不等式组成的方程组，如；不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分。 解法步骤 ①解每个不等式：解①：2x ≥ 2→x ≥ 1；解②：x ＜ 4； ②找公共解集：根据 “大小小大中间找”，得1 ≤ x ＜ 4； ③数轴表示：在 1 处画实心点（≥），4 处画空心圈（＜），中间部分为解集。 解集取法口诀与示例 口诀 不等式组示例 解集 同大取大 x ＞ 5 同小取小 x ＜ 1 大小小大中间找 1 ＜ x ＜ 3 大大小小无解 无解 不等式（组）的实际应用 解题步骤 ①设未知数：根据题意设关键未知数（如 “设购买 A 商品x件”），注明单位； ②找不等关系：从题干中提取 1-2 个不等关系（如 “总费用≤预算”“数量≥需求”）； ③列不等式（组） ：根据不等关系列出不等式（组），注意单位统一（如 “元”“角” 换算）； ④求解：按解法求出解集； ⑤验解：筛选符合实际意义的解（如正整数解，因 “数量、人数” 为正整数）； ⑥答：用文字规范表述结果（如 “共有 3 种购买方案，分别是……”）。 ※不等关系找错：如 “甲比乙多至少 5 个” 错写成 “”（正确应为 “x - y ≥ 5”）；忽略验解：如求得 “生产数量为 3.5 个”，未修正为 3 个（正整数），导致答案不合理。 金典习题 1． 【2025年四川省遂宁市】 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 2． 【2025年上海市】不等式组的解集为______． 3． 【2025年四川省宜宾市】满足不等式组的解是（　　） A. B. C. 1 D. 3 4． 【2025年四川省宜宾市】采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 5． 【2025年内蒙古】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6． 【2025年吉林省】不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7． 【2025年山西省】不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 8． 【2025年广西】有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 9． 【2025年新疆】不等式组的解集是______． 10． 【2025年江西】不等式的解集为________ 11． 【2025年浙江】 不等式组的解集是________． 12． 【2025年福建】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 13． 【2025年北京市】解不等式组： 14． 【2025四川省自贡市】解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 15． 【2025年天津市】解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 16． 【2025年广东省深圳市】解一元一次方程组，并数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 17． 【2025年江苏省扬州市】解不等式组，并写出它的所有负整数解． 18． 【2025年江苏省苏州市】解不等组： 19． 【2025年江苏省连云港市】解不等式组 20． 【2025年河北】（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 21． 【2025年甘肃】解不等式组： 22． 【2025年重庆】 求不等式组：的所有整数解． 23． 【2025年陕西】解不等式组： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$