基本不等式及其应用(8大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

基本不等式及其应用 题型一：基本不等式及其应用 【解题方法总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1．（2024·辽宁·校联考二模）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 例2．（2024·全国·高三专题练习）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　） A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D． 例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：直接法求最值 【解题方法总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例4．（2024·河北·高三学业考试）​的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例5．（2024·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）若a＞0，b＞0，求的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数，则的最小值为___________. 题型三：常规凑配法求最值 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 例7．（2024·全国·高三专题练习）已知a＞1，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C． D． 例8．（2025春·北京·高三北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 例9．（2024·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________． 题型四：消参法求最值 【解题方法总结】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例11．（2025·上海奉贤·校考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________. 例12．（2024·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________. 例13．（2025春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________． 题型五：换元法求最值 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 例15．（2025·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________. 例16．（2024·江西·高三宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______. 题型六：“1”的代换求最值 【解题方法总结】 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为__________. 例19．（2025·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 例20．（2025春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 题型七：利用基本不等式证明不等式 【解题方法总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 例21．（2024·全国·高三专题练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 例22．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x，y，z为正数，证明： (1)若，则； (2)若，则． 例23．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 题型八：利用基本不等式解决实际问题 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 例24．（2024·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 例25．（2024·全国·高三专题练习）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？ 例26．（2024·全国·高三专题练习）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本不等式及其应用 题型一：基本不等式及其应用 【解题方法总结】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 例1．（2024·辽宁·校联考二模）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可． 【解答过程】解：因为， 所以，故①错误； 当取x＝﹣1时，显然不成立，故②错误； 因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2， 所以，故③正确． 故选：C． 例2．（2024·全国·高三专题练习）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　） A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D． 【解题思路】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2， 所以ab≤（）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误； 因为（）2＝a+b+22+22+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以2，B错误； 因为1，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以a2+b2≥2，C正确； （）（2）2，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误． 故选：C． 例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 题型二：直接法求最值 【解题方法总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例4．（2024·河北·高三学业考试）​的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用基本不等式的性质可求得答案． 【解答过程】解：由已知函数 ， ∵x≥1，∴​， ∴​， 当且仅当​，即x＝2​时等号成立， ∴​当x＝2​时，函数​有最小值是4， 故选：C． 例5．（2024·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）若a＞0，b＞0，求的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【解题思路】把变形，再由基本不等式求其最小值． 【解答过程】解：∵a＞0，b＞0， ∴ ． 当且仅当时等号成立， ∴的最小值为2． 故选：C． 例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】∵，，， ∴，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 题型三：常规凑配法求最值 【解题方法总结】 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 例7．（2024·全国·高三专题练习）已知a＞1，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C． D． 【解题思路】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【解答过程】解：因为a＞1，则a﹣111＝5， 当且仅当a﹣1，即a＝3时取等号． 故选：A． 例8．（2025春·北京·高三北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 例9．（2024·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________． 【答案】8 【解析】因为不等式的解集为，则， 因为，所以， ∴． 当且仅当，即时，取到等号． 故答案为：8 题型四：消参法求最值 【解题方法总结】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例11．（2025·上海奉贤·校考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】因为，解得：， 则 当且仅当，时，“=”成立 故答案为：. 例12．（2024·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 因为且，则两边同除以，得， 又因为，当且仅当，即时等号成立，所以. 故答案为: 例13．（2025春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由，得， 则，解得， 则， 所以当，即时，取得最大值. 故答案为：. 题型五：换元法求最值 【解题方法总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：法一：（基本不等式） 设，则， 条件， 所以，即. 故选：D. 法二：（三角换元）由条件， 故可设，即， 由于，，故，解得 所以，， 所以,当且仅当时取等号. 故选：D. 例15．（2025·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________. 【答案】 【详解】令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 例16．（2024·江西·高三宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______. 【答案】 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 题型六：“1”的代换求最值 【解题方法总结】 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，，所以. 又， 所以. 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，的最小值是. 故选：C. 例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】， ， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为： 例19．（2025·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C 【详解】解：因为，所以． 因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立， 所以，的最小值为27． 故选：C 例20．（2025春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由得， 于是， 当且仅当，且，，即，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B． 题型七：利用基本不等式证明不等式 【解题方法总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 例21．（2024·全国·高三专题练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立 (2)4 【详解】（1）证明：因为 ， 所以， 当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）， 当且仅当，即或时，不等式中等号成立. 所以的最小值为4. 例22．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x，y，z为正数，证明： (1)若，则； (2)若，则． 【解析】（1）因为，所以， 同理可得，， 所以，故， 当且仅当时等号成立． （2）， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 例23．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以. ， 当且仅当，，时，等号成立， 故的最大值为9. （2）证明：因为， 所以，又， 解得， 当且仅当时，等号成立. 故. 题型八：利用基本不等式解决实际问题 【解题方法总结】 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 例24．（2024·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】. 【详解】每台机器运转年的年平均利润为，而，故，当且仅当时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为万元. 故答案为： 例25．（2024·全国·高三专题练习）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？ 【解析】（1）该单位每月的月处理成本： ， 因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 从而得当时，函数取得最小值，即. 所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元. （2）由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： 当且仅当，即时，等号成立. 所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元． 例26．（2024·全国·高三专题练习）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】(1)， (2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）． 【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元， 则， ，． （2）解：由（1）可得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时． 所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）． 学科网（北京）股份有限公司 $$