等式与不等式的性质(5大题型）讲义-2026届高三一轮复习

等式与不等式的性质 题型一：不等式性质的应用 【解题方法总结】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、充分利用基本初等函数性质进行判断． 3、小题可以用特殊值法做快速判断． 例1．（2024·重庆·统考模拟预测）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 例2．（多选题）（2025·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·全国·校联考模拟预测）若，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 【解题方法总结】 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是： 若，则；；； 若，则；；． 例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 例5．（多选）（2025·全国·模拟预测）若，，则（    ）． A． B． C． D． 例6．（2024·高三课时练习）求证： （1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac （2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2） 例7．（2024·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 题型三：根据已知不等式的关系或者范围，求目标式的取值范围 【解题方法总结】 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 例8．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10．（多选）（2024秋·四川达州·高三校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 例11．（2024·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围． 题型四：不等式的综合问题 【解题方法总结】 综合利用不等式的性质和其他章节的知识进行大小判别和不等式的证明. 例12．（2025·全国·高三专题练习）若,,则的取值范围是________. 例13．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D．的最小值为1 例14．（2024·全国·模拟预测）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 题型五：糖水不等式 【解题方法总结】 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 例15．（多选）（2024·全国·高三专题练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 例16．（2024·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）． 例17．（2024·福建·高三校联考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等式与不等式的性质 题型一：不等式性质的应用 例1．（2024·重庆·统考模拟预测）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故A错误， 对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误， 对于C，a＞b，c＞d， 由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确， 对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误． 故选：C． 例2．（多选题）（2025·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，，A错误； 对于B，，，，，，， ，即，B正确； 对于C，，，，即，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 例3．（2024·全国·校联考模拟预测）若，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，所以，所以A不正确； 对于B，因为，所以，所以由不等式的可加性知：，所以B正确； 对于C，令，所以，所以C不正确； 对于D，令，所以，所以D不正确. 故选：B. 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 【解题方法总结】 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是： 若，则；；； 若，则；；． 例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小． 【解答过程】解：∵，，， ∴由，且，故a＞b， 由且，故a＞c， 由且，故c＞b，∴a＞c＞b， 故选：B． 例5．（多选）（2025·全国·模拟预测）若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确； 对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误； 对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误； 对于D：，因为，可得，所以，故D正确． 故选：AD. 例6．（2024·高三课时练习）求证： （1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac （2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2） 【解题思路】（1）利用做差法证明不等式的大小即可； （2）利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立． 【解答过程】证明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac） [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥0， ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac； （2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2 ＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2 ＝（ad﹣bc）2≥0， ∴（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）． 例7．（2024·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【解析】（1）由题意， ， 所以． （2）证明：因为，所以，即， 而，所以，则．得证． 题型三：根据已知不等式的关系或者范围，求目标式的取值范围 【解题方法总结】 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 例8．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 例9．（2024·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，所以， 则，又， 所以，，由不等式的性质得：， 则的取值范围为. 故选：D. 例10．（多选）（2024秋·四川达州·高三校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A选项，所以，A选项正确； 对于B选项，所以，B选项不正确； 对于C选项，所以，C选项正确； 对于D选项，所以，D选项不正确； 故选：AC. 例11．（2024·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围． 【详解】因为，， 所以， 即的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 易知， 而 则， 所以的取值范围是． 题型四：不等式的综合问题 【解题方法总结】 综合利用不等式的性质和其他章节的知识进行大小判别和不等式的证明. 例12．（2025·全国·高三专题练习）若,,则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为, 所以, 又, 所以, 所以. 故答案为:. 例13．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D．的最小值为1 【答案】BC 【解析】由可知，，由不等式的性质可知，则． 选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误； 选项B：由函数的单调性可知，故B正确； 选项C：因为，所以，故C正确； 选项D：， 当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误． 故选：BC. 例14．（2024·全国·模拟预测）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】证明见解析.【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立. 题型五：糖水不等式 【解题方法总结】 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 例15．（多选）（2024·全国·高三专题练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 例16．（2024·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）． 【答案】> 【解析】令，则， 令，则， 所以，， 根据题设知：. 故答案为：> 例17．（2024·福建·高三校联考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 【答案】； 【解析】空1：因为，所以可得： ； 空2：由空1可得：，即. 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司 $$