集合（6大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

集合 题型一：集合的表示：列举法、描述法 例1．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，则，则中元素的个数为 故选：C 例2．（2024·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】C 【解析】根据题意，因为，， 所以. 故选：C. 例3．（2025春·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 【解题方法总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 题型二：集合元素的三大特征之互异性考察 例4．（2025•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【解题思路】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可． 【解答过程】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3， ∴a2﹣a+2＝14， ∴A＝{2，4，14}； 若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1， a＝2时，1﹣a＝﹣1， ∴A＝{2，﹣1，4}； a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍）， 故选：C． 例5．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 例6．（2024·北京东城·统考一模）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D．1 或2 【解题思路】利用集合与元素的关系，可得：a＝1或a＝a2﹣2a+2，再利用集合中元素的互异性进行判断即可． 【解答过程】解：a∈{1，a2﹣2a+2}， 则：a＝1或a＝a2﹣2a+2， 当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2； 故选：B． 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3、主要考查集合的概念与性质，特别是集合元素的互异性特征，要求学生能通过代入验证的方式判断符合条件的元素是否能构成合法的集合。此类问题解题关键是明确集合的表示方法以及元素间的互异性要求。 题型三：元素与集合间的关系 例7．（2025·全国·高三专题练习）已知集合 ，且 ，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】A 【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件； 故选：A 例8．（2025·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________. 【答案】或. 【详解】由题意，集合，且， 若时，可得，此时集合，符合题意； 若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若时，可得或（舍去）， 当时，集合，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 例9．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由椭圆的性质得， 又, 所以集合 共有11个元素. 故选：C 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数. 题型四：集合与集合之间的关系 例10．（2025·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 例11．（2024·江苏·统考一模）若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C 例12．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意集合， ， 若，则，此时， 因为“”是“”的必要不充分条件，故, 故； 若，则，此时， 因为“”是“”的必要不充分条件，故, 故； 若，则，此时，满足, 综合以上可得， 故选：C 例13．（2024·广东茂名·统考二模）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　） A．或 B． C．或0 D．或0 【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可． 【解答过程】解：A＝{﹣3，2}； ∵B⊆A； ∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅； ∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0； ∴或或0． 故选：D． 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 题型五：集合的交、并、补运算 例14．（2024·广东广州·统考二模）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，则， 故集合的元素个数为. 故选：B. 例15．（2025春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当，即时，，符合题意； 当时， 则，解得， 综上所述实数的取值范围为. 故选：C. 例16．（2025·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 例17．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3 【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为. 故答案为：3 【解题方法总结】 1、注意交集与并集之间的关系 2、全集和补集是不可分离的两个概念 题型六：集合的创新定义 例18．（2025·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ） A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法 C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法 【答案】AB 【详解】对于，，为实数的乘法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确， 对于，非负整数，为整数的加法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确， 对于，偶数，为整数的乘法，若存在满足（2），则为奇数，与已知矛盾，故不是关于运算⊕的融洽集，错误， 对于，，为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），故不是关于运算⊕的融洽集，错误， 故选：． 例19．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】对于A，因为，，故A错误； 对于B，若，则满足戴德金分割， 此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则， 则，而内也有有理数， 则，故C错误； 对于D，若，， 则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确， 故选：BD 例20．（2025·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____. 【答案】13 【详解】∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n； 当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn， ∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，} ＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1）， （1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}， 共13个元素， 故答案为：13 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集合 题型一：集合的表示：列举法、描述法 例1．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2024·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．7 例3．（2025春·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【解题方法总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 题型二：集合元素的三大特征之互异性考察 例4．（2025•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 例5．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例6．（2024·北京东城·统考一模）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D．1 或2 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3、主要考查集合的概念与性质，特别是集合元素的互异性特征，要求学生能通过代入验证的方式判断符合条件的元素是否能构成合法的集合。此类问题解题关键是明确集合的表示方法以及元素间的互异性要求。 题型三：元素与集合间的关系 例7．（2025·全国·高三专题练习）已知集合 ，且 ，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 例8．（2025·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________. 例9．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数. 题型四：集合与集合之间的关系 例10．（2025·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 例11．（2024·江苏·统考一模）若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A． B． C． D． 例12．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例13．（2024·广东茂名·统考二模）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　） A．或 B． C．或0 D．或0 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： （1）定义法进行判断 （2）数形结合法进行判断 题型五：集合的交、并、补运算 例14．（2024·广东广州·统考二模）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 例15．（2025春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例16．（2025·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．2 例17．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【解题方法总结】 1、注意交集与并集之间的关系 2、全集和补集是不可分离的两个概念 题型六：集合的创新定义 例18．（2025·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ） A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法 C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法 例19．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 例20．（2025·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____. 【解题方法总结】 1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化. 2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 学科网（北京）股份有限公司 $$