21.2解一元二次方程 课时训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A． B．2 C．2或 D．0或2 2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．7 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 7．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 8．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 9．已知，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个符合条件的的值 ． 12．已知实数，是方程的两根，则 ． 13．若、是方程的两个根，则代数式的值是 ． 14．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 15．已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为 ． 16．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 三、解答题 17．用适当方法解方程： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．若，是菱形两条对角线的长，且，是一元二次方程的两个根，求菱形的周长． 20．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 21．利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 22．对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的不动值是 ． (2)判断关于x的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． (3)已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.2解一元二次方程课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A D B C B D A 1．C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 所以或． 故选C． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法解方程，正确掌握方法是解题关键．使用配方法解方程时，先将常数项移到右边，二次项系数化为1后，再在两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：， 移常数项：， 配方： ， 左边化为完全平方：． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根．掌握一元二次方程的根的判别式的意义是解题的关键； 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】对于方程，系数， 判别式， 由于，因此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的方法步骤，是解题的关键． 通过配方法将二次方程左边转化为平方形式，对比选项得出正确结果． 【详解】解：原方程为． 将常数项移到右边，得． 取一次项系数的一半，平方得． 在方程两边同时加上，． 化简，得． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查一元二次方程的根系关系，将所求代数式正确变形是解题关键． 利用二次方程根与系数的关系，将所求代数式转化为根的和与积的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， ∴， ∴ ． 故选： D． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系．根据题意得出且，即且，求解即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和利用根的判别式判断方程根的情况． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，得二次项系数不为零且判别式非负，联立求解即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ，即 ， 又∵方程有实数解， ∴， 解得 ， 综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ． 故选C． 8．B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 9．D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ，， ∴，， 故选：． 10．A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 11．1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：一元二次方程可化为： 由条件可知， ， 当取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根之积求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 13．2 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．根据方程根的定义可得出，根据根与系数的关系求出代入即可得解． 【详解】解∶∵、是方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为∶2． 14． 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键． 根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 先由根与系数的关系得到，则化为，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为3，， ∴，， ∴ ∴化为， 即， 解得：． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分组分解法，十字相乘法．掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 或， ; （2）整理得：， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 该一元二次方程的解是 18．(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （）利用因式分解法即可求解； （）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 19． 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程根与系数的关系及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合根与系数的关系求出菱形的边长． 关键步骤：明确菱形对角线互相垂直平分，对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形；由一元二次方程根与系数的关系得对角线之和与积；利用勾股定理求出菱形的边长，进而求出周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，a，b是其两条对角线的长， ∴菱形的对角线互相垂直平分，菱形的边长为 ∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得：， 则菱形的边长为： ． ∴菱形的周长为． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 21．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的过程，进行模仿配方，即可作答． （2）把整理得，因为，则，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 22．(1)3或 (2)关于代数式没有不动值； (3)①；②正整数a的值为3． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，设的两根为和， 由根与系数的关系得，，由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是3或； 故答案为：3或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 解得； ②由题意得，则， 设的两根为和， ∴，， 由题意得， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∴正整数a的值为3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$