3.2.2 双曲线几何性质的综合问题课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

解 析 几 何 3.2.2 双曲线几何性质的 综合问题 圆 锥 曲 线 目 标 Mu Biao 1.掌握与双曲线共渐近线的双曲线方程的设法. 2.理解双曲线离心率范围的求法. 3.掌握双曲线几何性质的综合应用. 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关双曲线的综合问题. 解 析 几 何 第 壹 章 节 圆 锥 曲 线 “共渐近线问题” 01 共渐近线问题 例1：求与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的 双曲线方程. 由题意，得 所以双曲线的方程为＝1. 解 方法一　当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为＝1. 01 共渐近线问题 例1：求与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的 双曲线方程. 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为＝1. 解 由题意，得 解得a2＝－4，b2＝－(舍去)， 综上所得，双曲线的方程为＝1. 01 共渐近线问题 例1：求与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的 双曲线方程. λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线. 01 共渐近线问题 反 思 感 悟 利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线 系方程为＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少 运算量，提高解题速度与准确性. 01 共渐近线问题 跟踪训练1：双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的方程. 解 设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝. 当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1. 解 析 几 何 第 章 节 贰 圆 锥 曲 线 “双曲线离心率的取值范围” 02 双曲线离心率的取值范围 例2 (1) 已知点F是双曲线＝1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点， 过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点 若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A.(1，＋∞) B.(1，2) C.(2，1＋) D.(1，1＋) √ 02 双曲线离心率的取值范围 若△ABE是锐角三角形，则∠AEF<45°， 在Rt△AEF中，AF＝，EF＝a＋c， 所以<a＋c， 即2a2－c2＋ac>0，所以e2－e－2<0， 解得－1<e<2，又e>1，所以1<e<2. 解析 02 双曲线离心率的取值范围 (2)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且右顶点到 渐近线的距离与到直线x＝距离的比值大于2，则双曲线离心率的取值范围（ ） A. B. C.(1，2) D. √ 02 双曲线离心率的取值范围 易得右顶点到渐近线的距离为， 右顶点到直线x＝的距离为a－， 由题设条件有>2，整理得到>2，所以>4， 即>4，解得1<e<. 解析 01 共渐近线问题 反 思 感 悟 求双曲线离心率范围的方法 (1)列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解. (2)根据题意找出a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围. 02 双曲线离心率的取值范围 跟踪训练2： 椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆C没有公共点，则双曲线＝1的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. √ 02 双曲线离心率的取值范围 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2－b2，依题意，椭圆短轴的端点在此圆外，即b2>a2－b2，解得a2<2b2，则双曲线＝1的离心率为 e＝>， 由a>b，故e＝<， 所以所求离心率的取值范围. 解析 解 析 几 何 第 章 节 叁 圆 锥 曲 线 “综合应用” 03 双曲线几何性质的综合应用 例3：已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为， 且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上. (1)求双曲线的方程； 因为e＝， 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ. 因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为x2－y2＝8. 解 03 双曲线几何性质的综合应用 (2)求·的值； 由(1)知F1(－4，0)，F2(4，0)， ＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)， 所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2， 因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8， 即m2＝10， 所以·＝12. 解 03 双曲线几何性质的综合应用 (3)求△F1MF2的面积. 因为F1F2＝8，又由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 所以·F1F2·|m|＝4. 解 01 共渐近线问题 反 思 感 悟 (1)解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用 几何性质解题可简化运算. (2)双曲线的几何性质常与平面向量，正、余弦定理，不等式结合. 01 共渐近线问题 跟踪训练3：已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)经过点， 且其离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； 依题意可得 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. 解 01 共渐近线问题 (2) 设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，C的一条渐近线上有一点P满足 PF2 恰好垂直于这条渐近线，求△PF1F2的面积. 01 共渐近线问题 由(1)可知双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)， 双曲线的渐近线方程为y＝±2x，不妨取其中一条渐近线为y＝2x， 则F2到直线y＝2x的距离d＝PF2＝＝2， 所以OP＝＝1，其中O为坐标原点， 所以×1×2＝1， 又， 所以＝2＝2. 解 由双曲线的定义 求轨迹方程 由双曲线的定义求轨迹方程 (x<0) 由双曲线的定义求轨迹方程 迁移应用：由椭圆的定义求轨迹方程 解：依题意得C1(-3,0)，半径为1；C2(3,0)，半径为9. 设动圆圆心为M(x,y)，半径为R， 由题意得|MC1|=1+R，|MC2|=9-R， ∴|MC1|+|MC2|=10>|C1C2|=6. ∴点M在以C1,C2为焦点的椭圆上， ∴2a=10，2c=6，∴b2=a2－c2=25－9=16. THANK YOU $$