3.2.2 双曲线的几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

解 析 几 何 3.2.2 双曲线的几何性质 圆 锥 曲 线 目 标 Mu Biao 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义. 3.根据几何条件求双曲线的标准方程. 01 复习回顾 1.双曲线的定义是什么？ 一般地，平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意： 点M的轨迹是焦点F2 所对应的一支； 点M的轨迹是焦点F1 所对应的一支； M点的轨迹是以F1 、F2 为端点的两条射线； 点M的轨迹不存在 . 点M的轨迹是线段F1F2的中垂线. （5）当 2a=0 时， 01 复习回顾 2.双曲线的标准方程是什么？ O • • • • ①分母是a2和b2, 但a、b大小关系不定(a>b, a<b, a=b). ②c2=a2+b2(c最大：c>a>0,c>b>0) ③哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁. ④焦点位置未知(或过两点)，可设为mx2+ny2=1(mn<0). 注意： 01 复习回顾 P100-练习2.求适合下列条件的双曲线的标准方程. 01 复习回顾 P101-习题8 解 析 几 何 第 壹 章 节 圆 锥 曲 线 “双曲线的几何性质” 02 双曲线的几何性质 回顾：研究椭圆的几何性质时，涉及到哪些方面？ 范围，对称性，顶点，离心率等 02 双曲线的几何性质 问题：已知双曲线C的方程为 (1)方程中x与y的取值范围是多少？ (1) 或 由此可知，双曲线C位于直线x=-1与x=1所夹平面区域的外侧，如图所示. 02 双曲线的几何性质 问题：已知双曲线C的方程为 (2)双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称？为什么？ 若(x，y)是方程 的一组解， 即双曲线C关于y轴、x轴、坐标原点对称. 则(-x，y)也是方程的解，同理(x,-y),(-x,-y)都是方程的解， (x，y) (-x，y) y轴对称 02 双曲线的几何性质 问题：已知双曲线C的方程为 (3)双曲线C与坐标轴是否有交点？如果有，求出交点坐标. 令y=0，得x=-1或x=1， 可知双曲线C与x轴有两个交点， 且交点坐标分别为(-1，0)，(1，0)； 令x=0，得 这个方程无实数解， 可知双曲线C与y轴没有交点.如图所示 02 双曲线的几何性质 问题：已知双曲线C的方程为 (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，当|x|增大时，|y|将怎样变化？ ∴ 当|x|增大时，|y|也增大. 即双曲线C向四周无限延伸，如图所示. 02 双曲线的几何性质 则可得双曲线的几何性质： (1)范围 双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域. F1 F2 x O y -a a 02 双曲线的几何性质 (2)对称性 如果(x，y)是方程 的一组解， 则(-x，y)，(x，-y)，(-x，-y)都是方程的解， 所以双曲线C关于y轴、x轴、坐标原点对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点O是双曲线的对称中心，又叫双曲线的中心. F1 F2 x O y (x，y) (x，-y) (-x，-y) (-x，y) 02 双曲线的几何性质 (3) 顶点 令y=0，得x=±a，双曲线和x轴有两个交点，记为 令x=0，得 方程无解，与y轴无交点. 线段A1A2叫做双曲线的实轴， 它的长为2a，a叫做实半轴长； 记B1(0，b)，B2(0，b)，则称线段B1B2为双曲线的虚轴. 它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 实轴 虚轴 双曲线的顶点 02 双曲线的几何性质 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. F1 F2 x y 02 双曲线的几何性质 思考：（1）由方程①可以看出，如果(x，y)是双曲线上一点， 则|x|增大时，|y|也是增大的.即双曲线向四周无限延展，如图所示. 那么，这种无限延展还有什么性质呢？ F1 F2 x O y 02 双曲线的几何性质 双曲线上的点会越来越接近直线 当x越来越大时: 双曲线在直线 的下方，不会穿过直线 所以 当x>a时， 第一象限： F1 F2 x O y 02 双曲线的几何性质 第一象限： 当x时，d而且 无限接近，但又始终不相交 （2）双曲线线上的点到直线 的距离d随x增大会如何变化？ 02 双曲线的几何性质 x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 直线 都称为双曲线 的渐近线. 根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无限延伸时，总是在由直线y合与直线y一一相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并无限接近于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示 (4)渐近线. 02 双曲线的几何性质 同椭圆情形一样，双曲线的半焦距与半实轴长之比 (5)离心率 称为双曲线的离心率. 02 双曲线的几何性质 问题：(1)根据双曲线离心率的定义，双曲线离心率的取值范围是什么？ 双曲线: c＞a＞0 e＞1 (2)双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系？为什么. 因为 e 越趋近于1 ，则|k| 越小， 双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄; e 越来越大时，则|k| 越大， 双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越开阔. x O y F2 F1 02 双曲线的几何性质 如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够身在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难道正如书上说的 无限接近不能达到 王渊超于1995年读高中时创作了这首歌曲。 创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能达到”，而正是这点 给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就 课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生。 02 双曲线的几何性质 思考：如果双曲线的标准方程是 那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率分别是什么？ 1、范围： 2、对称性： 3、顶点坐标： 实轴： 虚轴： 4、渐近线方程： 即： 5、离心率： y<-a或y>a 对称轴：x轴和y轴；对称中心：原点O A1(0，-a) 、A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 线段A1A2 线段B1B2 小结 标准方程 性 质 范围 对称性 顶点坐标 轴 渐近线 离心率 a，b，c间的关系 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴：线段A1A2长：2a；虚轴：线段B1B2长：2b； 半实轴长：a，半虚轴长：b c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0) 02 双曲线的几何性质 (课本例1)求双曲线＝1的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、 离心率及渐近线方程. 由题意知a2＝4，b2＝3， 所以c2＝a2＋b2＝4＋3＝7，解得a＝2，b＝，c＝. 因此，双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝2. 焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0). 离心率e＝.渐近线方程为y＝±x. 解 02 双曲线的几何性质 例1：求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率和渐近线方程. 把双曲线的方程化为标准方程为＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝，渐近线方程为y＝±x. 解 02 双曲线的几何性质 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置. 反 思 感 悟 02 双曲线的几何性质 45°/互相垂直 02 双曲线的几何性质 跟踪训练1：(1)双曲线＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 A .－ B.－4 C.4 D. √ 双曲线方程化为标准形式得y2－＝1，m<0，则有a2＝1，b2＝－m， 由题意知2×2＝2，解得m＝－4. 解析 02 双曲线的几何性质 (2)(多选)已知双曲线＝1，对于∀k∈R且k≠0，则下列四个选项 中因k改变而变化的是 A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 √ √ 02 双曲线的几何性质 ∵双曲线的方程为＝1，k∈R且k≠0， ∴a2＝2k2，b2＝k2，c2＝3k2， 焦距为2c＝2|k|， 离心率e＝， 顶点坐标(±|k|，0)，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. ∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标. 解析 解 析 几 何 第 章 节 贰 圆 锥 曲 线 “求双曲线的标准方程” 03 求双曲线的标准方程 (课本例2)已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为， 求双曲线的方程. 根据题意知2c＝16，， 解得a＝6，c＝8，从而b2＝c2－a2＝82－62＝28. 因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 所以所求双曲线方程为＝1. 解 03 求双曲线的标准方程 例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则2b＝8，e＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为＝1. 解 03 求双曲线的标准方程 (2)与椭圆＝1有公共焦点，离心率为. 例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程： 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 即c＝3且焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 因为e＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5， 故所求双曲线的标准方程为＝1. 解 03 求双曲线的标准方程 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法. 当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应 注意分类讨论. 反 思 感 悟 03 求双曲线的标准方程 跟踪训练2：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). ∵e＝，∴e2＝＝1＋，∴. 由题意得 ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 解 03 求双曲线的标准方程 (2)以椭圆＝1的焦点为顶点，顶点为焦点. 椭圆＝1的焦点坐标为(－1，0)，(1，0)， 在x轴上的顶点坐标为(－2，0)，(2，0). 则双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，顶点坐标为(－1，0)，(1，0). 故双曲线的标准方程为x2－＝1. 解 解 析 几 何 第 章 节 叁 圆 锥 曲 线 “求双曲线的离心率” 03 求双曲线的离心率 例3 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为　　　　.  当焦点在x轴上时，＝2， 这时离心率e＝. 当焦点在y轴上时，＝2，即， 这时离心率e＝. 解析 或 03 求双曲线的离心率 例3 (2)已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线 相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 由双曲线＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x， 即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝＝2，可得e＝. 解析 √ 03 求双曲线的离心率 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解. (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解. (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0 (p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解. 反 思 感 悟 03 求双曲线的离心率 跟踪训练3：过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线 平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为　　　　.  如图，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点， 将点P的横坐标2a代入＝1中，得y2＝3b2， 不妨令点P的坐标为(2a，－b)， 此时， 得到c＝(2＋)a， 即双曲线C的离心率e＝＝2＋. 解析 2＋ THANK YOU $$