第一章 一元二次方程 综合能力提升卷2025—2026学年苏科版数学九年级上册

第一章一元二次方程综合能力提升卷 一、选择题：本题共10题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的方程是一元二次方程，则(    ) A. 或 B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可知：，且即， 所以． 故选：． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为且二次项的系数不为，即，且，解出的值即可． 本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为，这是比较容易漏掉的条件． 2.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由原方程，得 ， ， ， 故选：． 在本题中，化二次项系数为后，把常数项移项，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法． 3.已知关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的两根之和为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，可知每天“遗忘”的百分比约为参考数据：  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设每天“遗忘”的百分比为，根据题意得，解得，不合题意，舍去，，每天“遗忘”的百分比约为，故选C． 5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 【答案】D  【解析】略 6.如图，一块正方形地砖的图案是由个全等的五边形和个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，根据题意易知，点为正方形、的中心，，即，．，．，设正方形的边长为，则，，解得．，或．，，故选B． 7.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有一个根为，则下列结论正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 【答案】C  【解析】略 8.欧几里得的几何原本中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点设，，则方程较小的根是(    ) A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】B  【解析】，，，，，，为较小的根．在中，，，，．在中，为斜边中线，，，方程较小的根是的长度故选B． 9.已知两个多项式，，为实数，将、进行加减乘除运算： 若，则； ，则需要满足的条件是； ，则关于的方程无实数根； 若为正整数，且为整数，则，，，． 上面说法正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】利用可求出，故错误；对分情况讨论可知正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故正确；由为整数，可得是整数，可求出，，，，故正确． 【详解】解：，， 当时，则，解得：，故错误； 当，则， 当时，，解得：； 当，，解得：； 当，，解得：舍去； 综上所述：，故正确； 若，则或， 当时，，，无解； 当时，，，无解； ，关于的方程无实数根；故正确； ， 若为整数，则是整数， 为正整数，解得：，，，，故正确； 正确的有 故选： 10.如图，为矩形的对角线，将沿翻折得到，与边交于点若，，，其中、是关于的方程的两个实根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了矩形的性质和折叠的性质． 利用根与系数的关系得到，，，，再利用折叠的性质和平行线的性质得到，则，所以，利用勾股定理得到，解得，可得，然后计算的值． 【解答】 解：、是关于的方程的两个实根， ，， 即，， 沿翻折得到，与边交于点， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得或舍去， ， ， 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知、是方程的两个根，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，代入所求代数式中，即可求解． 【解答】 解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 12.方程的负整数解为          ． 【答案】  【解析】提示：设，，则可得，所以，所以或，解得，或，，故负整数解为． 13.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了          人． 【答案】  【解析】解：设平均一人传染了人， 或舍去． 平均一人传染人． 故答案为：． 设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列方程求解． 本题考查一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 14.若是方程的一个根，设，，则与的大小关系为           填“”“”或“” 【答案】  【解析】是方程的一个根，，即，则， 15.定义新运算“”如下：当时，；当时，若，则的值为          ． 【答案】或  【解析】当，即时，根据题意，得，解得，舍去；当，即时，根据题意，得，解得，舍去综上所述，的值为或． 16.如果关于的方程的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】提示：由题意，得或，且方程有两个根，设这两个根分别是，，则根的判别式，且，，所以，所以根据三角形三边关系定理，得，即，所以． 17.已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的正实数根，则的值为          ． 【答案】  【解析】【点拨】设这个相同的正实数根为，把分别代入，，，得，，，，得，，，即，． 18.新定义：将关于的一元二次方程与称为“同类方程”，如与是“同类方程”现有关于的一元二次方程与是“同类方程”，那么代数式的最大值为          ． 【答案】  【解析】由题意，得所以解得所以，所以当时，原式取得最大值，为． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解下列方程． ； ； ； ． 【答案】(1)，.  (2).  (3)，.  (4)，.  【解析】 略  略  略  略 20.本小题分 阅读材料，解答问题： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，原方程可化为解得，． 当时，，即，． 当时，，即，． 原方程的解为，，，． 仿照上述方法解方程：． 【答案】，  【解析】略 21.本小题分 已知关于的方程． 求证：方程有两个不相等的实数根． 当为何值时，方程的两个根互为相反数？求此时方程的解． 【答案】(1)，方程有两个不相等的实数根．  (2)，，  【解析】 略  略 22.本小题分 如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同和速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为？ 用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； 多长时间后的面积为？ 设，直接求出的取值范围； 【答案】解：，点从点出发以每秒的速度向点运动， 当运动时间为时，； 点从点出发以每秒的速度向点运动， ． ，，点，的运动速度为每秒，且当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动， 的取值范围为． 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过或时，的面积为； 根据题意得，， ， 的取值范围为．  【解析】根据题意即可得到结论； 根据题意列方程即可得到结论； 根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23.本小题分 “河南三日游”的调研分析 背景 河南，华夏文明的发祥地，宛如一部鲜活的史书郑州、开封、洛阳、安阳四座古都，承载着王朝兴衰的记忆走进河南，领略古老与现代交织的传奇画卷，感受中华传统文化的深邃与博大为了让更多的人了解河南，感受河南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“河南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“河南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材 活动推出后，月份报名参加“河南三日游”的人数为人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计月份的报名人数将达到人． 素材 该旅行社“河南三日游”活动的初步方案为：人起组团，每人的团费为元经调查发现，若每人的团费每降低元，平均每个团的报名人数会增加人，但每人的团费不低于元． 问题解决 任务 求，两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率． 任务 若该旅行社要使平均每个团的总团费为元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务和任务． 【答案】；   元．  【解析】解：设，两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：，两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率为； 设每人团费下调元，则每人的团费为元，平均每个团的报名人数为人， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：下调后每人的团费为元． 设，两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率为，利用月份报名参加“河南三日游”的人数月份报名参加“河南三日游”的人数两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 设每人团费下调元，则每人的团费为元，平均每个团的报名人数为人，根据该旅行社要使平均每个团的总团费为元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每人的团费不低于元，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24.本小题分 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则把称为该一元二次方程的“友好点”． 若方程为，则该方程的“友好点”的坐标为          ． 若关于的一元二次方程的“友好点”为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值． 是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的“友好点”始终在函数的图像上？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（1，2）  (2)x2-（5m+1）x+5m=0的解为x1=1，x2=5m．由题意，得|5m|=1，解得．  (3)存在． 因为y=kx+2k+3=k（x+2）+3，所以直线经过定点（-2，3）．所以当方程x2+bx+c=0的“友好点”为P（-2，3）时符合题意，所以b=-1，c=-6．   【解析】 略  略  略 25.本小题分 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． 求的取值范围； 已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 由题意知：，恰好是等腰的腰长， ， ，是关于的一元二次方程的两实数根， ， 解得， ， 解得， ， 的周长为：； 由知：的三边长为，，， ， ， 过分别作，，，垂足分别为，，， 是角平分线的交点， ， ， 解得， ．  【解析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键． 根据，构建不等式求解即可； 由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用，构建方程求解值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，进而可求解的周长； 由海伦公式可求解的面积，过分别作，，，垂足分别为，，，利用角平分线的性质可得，结合的面积可求解的长，再根据三角形的面积公式计算可求解． 26.本小题分 如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为 连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在理由：当点P在BC上，即0≤t≤2时，AQ＝t cm，BQ＝(4-t)cm，BP＝2t cm，PC＝(4-2t)cm．∵S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△CPD＝S△PQD，∴，解得t1＝-1，t2＝3，均不合题意，舍去．当点P在CD上，即2＜t≤4时，AQ＝t cm，DP＝(8-2t)cm．∵，∴，解得（不合题意，舍去）．∴不存在t的值，使△PQD的面积为11 cm2．  (2)存在由题意，得AQ＝t cm，BQ＝(4-t)cm，BP＝2t cm，PC＝(4-2t)cm．当PD＝QD时，由题意，得∠C＝∠A＝90°，DC＝DA，∴，∴PC＝QA，即4-2t＝t，解得．当PD＝PQ时，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2，在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2，∴(2t)2+(4-t)2＝(4-2t)2+42，解得（不合题意，舍去），．∴存在t的值，使△PQD是以PD为一腰的等腰三角形，t的值为或  【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的方程是一元二次方程，则(    ) A. 或 B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的两根之和为(    ) A. B. C. D. 4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，可知每天“遗忘”的百分比约为参考数据：  (    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 6.如图，一块正方形地砖的图案是由个全等的五边形和个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段的长度为，则这块地砖的面积为(    ) A. B. C. D. 7.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有一个根为，则下列结论正确的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 8.欧几里得的几何原本中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点设，，则方程较小的根是(    ) A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 9.已知两个多项式，，为实数，将、进行加减乘除运算： 若，则； ，则需要满足的条件是； ，则关于的方程无实数根； 若为正整数，且为整数，则，，，． 上面说法正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，为矩形的对角线，将沿翻折得到，与边交于点若，，，其中、是关于的方程的两个实根，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知、是方程的两个根，则          ． 12.方程的负整数解为          ． 13.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了          人． 14.若是方程的一个根，设，，则与的大小关系为           填“”“”或“” 15.定义新运算“”如下：当时，；当时，若，则的值为          ． 16.如果关于的方程的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是          ． 17.已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的正实数根，则的值为          ． 18.新定义：将关于的一元二次方程与称为“同类方程”，如与是“同类方程”现有关于的一元二次方程与是“同类方程”，那么代数式的最大值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解下列方程． ； ；；． 20.本小题分 阅读材料，解答问题： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，原方程可化为解得，． 当时，，即，． 当时，，即，． 原方程的解为，，，． 仿照上述方法解方程：． 21.本小题分 已知关于的方程． 求证：方程有两个不相等的实数根． 当为何值时，方程的两个根互为相反数？求此时方程的解． 22.本小题分 如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同和速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为？ 用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； 多长时间后的面积为？ 设，直接求出的取值范围； 23.本小题分 “河南三日游”的调研分析 背景 河南，华夏文明的发祥地，宛如一部鲜活的史书郑州、开封、洛阳、安阳四座古都，承载着王朝兴衰的记忆走进河南，领略古老与现代交织的传奇画卷，感受中华传统文化的深邃与博大为了让更多的人了解河南，感受河南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“河南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“河南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材 活动推出后，月份报名参加“河南三日游”的人数为人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计月份的报名人数将达到人． 素材 该旅行社“河南三日游”活动的初步方案为：人起组团，每人的团费为元经调查发现，若每人的团费每降低元，平均每个团的报名人数会增加人，但每人的团费不低于元． 问题解决 任务 求，两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率． 任务 若该旅行社要使平均每个团的总团费为元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务和任务． 24.本小题分 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则把称为该一元二次方程的“友好点”． 若方程为，则该方程的“友好点”的坐标为          ． 若关于的一元二次方程的“友好点”为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求的值． 是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的“友好点”始终在函数的图像上？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 25.本小题分 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． 求的取值范围； 已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 26.本小题分 如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为 连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第一章 一元二次方程 综合能力提升卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于�的方程(� + 2)�|�| +�� − 1 = 0 是一元二次方程，则� =( ) A. 2 或−2 B. 2 C. −2 D. 0 2.用配方法解一元二次方程 2�2 − 2� − 1 = 0，下列配方正确的是( ) A. � − 14 2 = 34 B. � − 1 4 2 = 32 C. � − 1 2 2 = 34 D. � − 1 2 2 = 32 3.已知关于�的一元二次方程��2 + �� + 1 = 0 的两个根为�1 = 1，�2 = 2，则关于�的一元二次方程� � + 1 2 + � � + 1 + 1 = 0 的两根之和为( ) A. 1 B. 2 C. −1 D. −2 4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识 和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的， 根据“两天不练丢一半”，可知每天“遗忘”的百分比约为(参考数据： 2 ≈ 1.414) ( ) A. 20.3% B. 25.2% C. 29.3% D. 50% 5.若关于�的一元二次方程(� − 1)�2 − 2+ 3�� + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则�的取值范围是( ) A. � < 6 B. � < 6 且� ≠ 1 C. − 23 ≤ � < 6 D. − 2 3 ≤ � < 6 且� ≠ 1 6.如图，一块正方形地砖的图案是由 4 个全等的五边形和 1 个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五 边形的面积相等，并且图中线段�的长度为 10 − 2，则这块地砖的面积为( ) A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 7.定义：如果一元二次方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)满足� + � + � = 0，那么我们称这个方程为“凤凰”方 程．已知��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)是“凤凰”方程，且有一个根为−1，则下列结论正确的是( ) A. � = �，� = 1 B. � = �，� = 0 C. � =− �，� = 0 D. � = � = � 8.欧几里得的《几何原本》中记载了形如�2 − 2�� + 4�2 = 0 � > 2� > 0 的方程根的图形解法：构造 ��▵���，��为斜边中线，且�� = 12��，作�� ⊥ ��，与��的延长线交于点�.设�� = �，�� = 2�，则方 第 2页，共 6页 程�2 − 2�� + 4�2 = 0 较小的根是( ) A. ��的长度 B. ��的长度 C. ��的长度 D. ��的长度 9.已知两个多项式� = �2 + � + 1，� = �2 − � + 1，�为实数，将�、�进行加减乘除运算： ①若� + � = 10，则� = 2； ② � − � − 2 + � − � + 4 = 6，则�需要满足的条件是−2 ≤ � ≤ 1； ③� × � = 0，则关于�的方程无实数根； ④若�为正整数(� ≠ 3)，且�−3�−7为整数，则� = 1，2，4，5． 上面说法正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10.如图，��为矩形����的对角线，将△ ���沿��翻折得到△ ��′�，��′与边��交于点�.若�� = �1， �� = 2�2，�� = 3，其中�1、�2是关于�的方程�2 − 4� + � = 0 的两个实根，则�的值是( ) A. 3 B. 125 C. 16 5 D. 2 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.已知�、�是方程�2 − 2� − 1 = 0 的两个根，则�2 + 2� = ． 12.方程(�2 + 3� − 4)2 + (2�2 − 7� + 6)2 = (3�2 − 4� + 2)2的负整数解为 ． 13.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 14.若�0是方程��2 + 2� + � = 0 � ≠ 0 的一个根，设� = 1 − ��，� = ��0 + 1 2，则�与�的大小关系 为� �. (填“>”“<”或“=”) 15.定义新运算“⋆”如下：当� ≥ �时，� ⋆ � = �� + �；当� < �时，� ⋆ � = �� − 3(� − 9).若(2� − 1) ⋆ (� + 2) = 48，则�的值为 ． 第 3页，共 6页 16.如果关于�的方程(� − 1) �2 − 2� + 14 � = 0 的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数�的取 值范围是 ． 17.已知下面三个关于�的一元二次方程��2 + 2�� + � = 1，��2 + 2�� + � =− 3，��2 + 2�� + � = 2 恰好有 一个相同的正实数根，则� + � + �的值为 ． 18.新定义：将关于�的一元二次方程�(� − �)2 + � = 0 与�(� − �)2 + � = 0 称为“同类方程”，如 2(� − 1)2 + 3 = 0 与 6(� − 1)2 + 3 = 0 是“同类方程”.现有关于�的一元二次方程 2(� − 1)2 + 1 = 0 与(� + 6)�2 − (� + 8)� + 6 = 0 是“同类方程”，那么代数式��2 + �� + 2024 的最大值为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解下列方程． (1)3 2� − 1 2 = 27； (2)�2 − 2 6� + 6 = 0；(3) � − 4 2 = 4� 4 − � ；(4) � − 2 2 =− 3 � − 2 − 2． 20.(本小题 8 分) 阅读材料，解答问题： 为了解方程 �2 − 1 2 − 5 �2 − 1 + 4 = 0，我们可以将 �2 − 1 看作一个整体，设�2 − 1 = �，原方程可化 为�2 − 5� + 4 = 0.解得�1 = 1，�2 = 4． 当�1 = 1 时，�2 − 1 = 1，即�2 = 2，∴ � =± 2． 当�2 = 4 时，�2 − 1 = 4，即�2 = 5，∴ � =± 5． ∴原方程的解为�1 = 2，�2 =− 2，�3 = 5，�4 =− 5． 仿照上述方法解方程：�4 − �2 − 6 = 0． 第 4页，共 6页 21.(本小题 8 分) 已知关于�的方程�2 + �+ 2 � + 2� − 1 = 0． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)当�为何值时，方程的两个根互为相反数？求此时方程的解． 22.(本小题 8 分) 如图，�� △ ���中，∠� = 90°，�� = 6��，�� = 8��，点�从�点出发以每秒 1��的速度向�点运动，同 时�从�点出发以相同和速度向�点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间 为�(�)？ (1)用含�的代数式表示��、��的长，并直接写出�的取值范围； (2)多长时间后△ ���的面积为 6��2？ (3)设� = ��2，直接求出�的取值范围； 第 5页，共 6页 23.(本小题 8 分) “河南三日游”的调研分析 背 景 河南，华夏文明的发祥地，宛如一部鲜活的史书.郑州、开封、洛阳、安阳四座古都，承载着王朝 兴衰的记忆.走进河南，领略古老与现代交织的传奇画卷，感受中华传统文化的深邃与博大.为了让 更多的人了解河南，感受河南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“河南三日游”旅行活动，现要对 活动方案进行升级，需要对“河南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素 材 1 活动推出后，9 月份报名参加“河南三日游”的人数为 1500 人，随着旅游热度不断提升，报名人 数逐月递增，预计 11 月份的报名人数将达到 2160 人． 素 材 2 该旅行社“河南三日游”活动的初步方案为：30 人起组团，每人的团费为 900 元.经调查发现，若 每人的团费每降低 10 元，平均每个团的报名人数会增加 1 人，但每人的团费不低于 750 元． 问题解决 任 务 1 求 10，11 两个月“河南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率． 任 务 2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为 32000 元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务 1 和任务 2． 24.(本小题 8 分) 定义：若关于�的一元二次方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)的两个实数根分别为�1，�2(�1 ≤ �2)，则把�(�1, �2) 称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为�2 − 3� + 2 = 0，则该方程的“友好点”�的坐标为 ． (2)若关于�的一元二次方程�2 − (5� + 1)� + 5� = 0 的“友好点”为�，过点�向�轴和�轴作垂线，两条垂 线与坐标轴恰好围成一个正方形，求�的值． (3)是否存在�，�，使得不论�(� ≠ 0)为何值，关于�的方程�2 + �� + � = 0 的“友好点”�始终在函数� = �� + 2� + 3 的图像上？若存在，请求出�，�的值；若不存在，请说明理由． 第 6页，共 6页 25.(本小题 8 分) 已知�1，�2是关于�的一元二次方程(� + 2)�2 + 2(� − 2)� + � + 10 = 0 的两实数根． (1)求�的取值范围； (2)已知等腰△ ���的底边�� = 4，若�1，�2恰好是△ ���另外两边的边长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若△ ���三边的长分别为�，�，�，那么可以根据秦九韶−海伦公式可得：�△��� = �(� − �)(� − �)(� − �)，其中� = �+�+�2 ，在(2)的条件下，若∠���和∠���的角平分线交于点�，根据以 上信息，求△ ���的面积． 26.(本小题 8 分) 如图，正方形����的边长为 4 ��，动点�从点�出发，以 2 ��/�的速度沿� → � → �的方向向点�运动； 动点�从点�出发，以 1 ��/�的速度沿� → �的方向向点�运动．若�、�两点同时出发，运动时间为��. (1)连接��、��、��，是否存在�的值，使△ ���的面积为 11 ��2？若存在，求出�的值；若不存在，请说 明理由． (2)当点�在��上运动时，是否存在�的值，使△ ���是以��为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条 件的�的值；若不存在，请说明理由．