5.5.2简单的三角恒等变换 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学讲义 2025～2026学年上学期高一数学讲义 教材：人教A版高中数学必修第一册 章节：5.5.2简单的三角恒等变换 part1 知识清单 知识点01：半角公式 ① ② ③ 知识点02：辅助角公式： (其中) 知识点03：万能公式 ① ② ③ Part2 教材重点例题与习题 1.试以表示，，． 【答案】解：是的二倍角． 在倍角公式中，以代替，以代替， 得， 所以． 在倍角公式中，以代替，以代替， 得， 所以． 将两个等式的左右两边分别相除，得 ．  2.求证： ． 【答案】证明：因为，           ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 ， 即． 即证． 由可得． 设，， 那么，． 把，的值代入，即得 ． 即证  3.求下列函数的周期，最大值和最小值： 【答案】解： 因此，所求周期为，最大值为，最小值为． 设， 则． 于是，， 于是， 所以． 取， 则，． 由可知，所求周期为，最大值为，最小值为．  4.如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形． 记，求当角取何值时，矩形的面积最大并求出这个最大面积． 【答案】解：在中，，． 在中，． 所以， ． 设矩形的面积为，则 ． 由，得， 所以当， 即时， ． 因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．  5.求证：． 【答案】证明：， ， 即证  6.求证： ． 【答案】证明：右边左边， 原式成立； 证明：右边左边， 原式成立； 证明：右边左边， 原式成立．  7.求证： ． 【答案】证明：令，则， 即有 令，则， 即有 令，则， 即有．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的值为 A. B. C. D. 2.在中，若，则的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 3.若，，则 A. B. C. D. 4.若，且，则的值为 A. B. C. D. 5.若，，且，，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.已知是锐角三角形，，，则(    ) A. B. C. D. 与的大小不能确定 7.设，，，则有(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 8.已知，，，，则(    ) A. B. C. D. 9. 设函数，则(    ) A. 是偶函数 B. 在单调递减 C. 最大值为 D. 其图象关于直线对称 10.已知角是锐角，若，是关于的方程的两个实数根，则实数和的关系式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题 11.化简：          ． 12.已知，在第二象限，则          ． 13.等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为          ． 14.若，且是第四象限角，则          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.求下列各式的值： 16.求下列函数的周期，最大值和最小值： 17.已知函数， 求的最小正周期和最值； 求这个函数的单调递增区间． 18.如图，某公司有一块边长为百米的正方形空地，现要在正方形空地中规划一个三角形区域种植花草，其中，分别为边，上的动点，，其他区域安装健身器材，设为弧度． 求的面积关于的函数解析式； 求面积的最小值． 19.在条件；；中任选一个，补充在下面的问题中，并求解． 已知角为锐角，_____． 求角的大小； 求的值． 20.已知，， 求的值； 你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？ 21.已知，且，，且，． 化简； 是否存在，使得与相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  解： ． 故选C． 2.【答案】  解：由可得 ， ， 即， 展开可得，， ， ． B、为三角形内角， ． 为等腰三角形． 故选D． 3.【答案】  解：，即， 为第二象限角， ， ， 为第三象限角， ， ． 故选B． 4.【答案】  解：由已知得 ， 又，， 所以 ， 故选C． 5.【答案】  解：，，， ，， 又， ，即， ， 又， ， ， ． 又，， ， ， 故选A． 6.【答案】  解： 由于是锐角三角形， 所以， ， ，， 所以， ， 综上，知，即， 故选：． 7.【答案】  解：  ，  ，  ， 所以  故选B． 8.【答案】  解：因为，所以， 又，故有，， 解出，故A错误； ， 由知：，所以， 所以，故B正确； 由知：，而，所以， 又，所以， 解得， 所以， 又因为，， 所以，有，故C正确； 由， 由知，， 两式联立得：，故D错误． 故选BC． 9.【答案】  解： ， 由函数图象可知，为偶函数，且最大值为， 故A正确，C错误， 令， 解得， 令得，， 在上单调递减，故B正确， 当时，，取得最小值， 图像关于直线对称，故D正确， 综上，选项正确， 故选ABD． 10.【答案】  解：因为两根，不一定相等，所以判别式不一定为零，A错误； 由韦达定理及锐角可得，， 所以，C错误； 因为， ， B正确； 是锐角，所以 所以，D正确． 故选BD． 11.【答案】  解： ． 故答案为． 12.【答案】  解：已知，在第二象限，， ， 故答案为：． 13.【答案】．  解：设顶角为，则，底角为，则， 由， ， 故答案为． 14.【答案】  解：由题意得， ， 是第四象限角，是第二或第四象限角， ， ， 故答案为． 15.【答案】解：原式 ； 原式 ．  16.【答案】解： 因此，所求周期为，最大值为，最小值为． 设， 则． 于是，， 于是， 所以． 取， 则，． 由可知，所求周期为，最大值为，最小值为．  17.【答案】解：， ， 由周期公式可得，最小正周期， 函数的最大值为，最小值； 令，， 解得：，， 函数的单调递增区间，．  18.【答案】解：，正方形边长为百米， ，， 过点作的垂线，垂足为，则， ，其中． ， ， 当时，即时，取得最小值为． 答：当时，面积的最小值为．  19.【答案】解：若选择条件， 由于，可得， 可得，即， 因为为锐角， 可得； ． 若选择， 由于，， 可得，解得，或舍去， 因为为锐角，可得． ． 若选择， 因为， 可得，或， 因为为锐角，， 可得，可得； ．  20.【答案】解：由可得， 解得或由，舍去， 所以，于是； 根据所给条件，可求出仅由，，表示的三角函数式的值． 例如，，，，等等． ，， ． 21.【答案】解： ，同理得： ，且，， 若， 则， ， 即， ， ，即为存在的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$