第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 课件-2026届高三数学一轮复习

第 36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1 1.理解平面 向量的基本 定理及其意 义. 2.借助平面直角坐标 系,掌握平面向量的 正交分解及坐标表 示. 3.会用坐标表示 平面向量的加、 减运算与数乘运 算. 4.能用坐标 表示平面向 量共线的条 件. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 2 必备知识·逐点梳理 3 一、平面向量基本定理 条件 , 是同一平面内的两个____________ 结论 对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数, ,使 ____________ 基底 若,不共线,则把, 叫作表示这一平面内所有向量的 一个基底 不共线向量 （1）平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.( ) × 判断 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 4 （2）基底中可以含有零向量.( ) × 提醒（1）基底{, 必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量 不能作为基底.若基底给定,则同一向量的分解形式唯一. （2）如果对于一个基底{,,有 , 那么可以得到,.特别地,若 ,则 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 5 二、平面向量的坐标运算 1.平面向量的加法、减法、数乘及向量的模 设,,则________________, ________________,__________, . 2.两点间的向量坐标公式 已知点,,则 ________________, . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 6 3.单位向量 ,同向单位向量为,,反向单位向量为 , . 提醒（1）已知为线段的中点，若，，则点 的坐标为， . （2）已知的重心为，若点，， ， 则点， . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 7 三、平面向量共线的坐标表示 设,,其中 ,则 ____________. 提醒 只有当时,才与 等价. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 8 关键考点·核心突破 9 考点一 平面向量的基本定理及其应用 例1.改编题 （苏教必修②P练习T改编）若， 是平面 内的一个基底，则下面的四组向量中,不能作为一个基底的是 ( ). B A.和 B.和 C.和 D.和 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 10 解析 因为向量，是平面内的一个基底，所以向量， 为平 面内不共线的向量. 对于A，设，可得 此时方程组无解， 所以向量和 不共线，可以作为平面的一个基底. 对于B，设，可得解得 ， 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 11 所以向量和 为共线向量，不能作为平面的一个 基底. 对于C，设，可得 此时方程组无解， 所以向量和 不共线，可以作为平面的一个基底. 对于D，设，可得 此时方程组无解， 所以向量和 不共线，可以作为平面的一个基底. 故选B. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 例2 （2024·天津卷节选）如图，在边长为1的 正方形中，为线段 的三等分点， ,，则 ___. 解析 因为，所以 ，则 ，可得,，所以 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 13 方法总结 应用平面向量基本定理的关键 （1）合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量. （2）选定基底后,通过构造平行四边形（或三角形）,利用向量 的加、减、数乘运算以及向量平行的充要条件,用基底把相关向量表 示出来. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 14 （3）注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量, 常借助图形的几何性质,如平行、相似等. 注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底 下的分解都是唯一的. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 15 1.（多选题）如图,在中,, 是线 段上的点,且满足,线段 与线段 交于点 ,则下列结论正确的是( ). ACD A. B. C. D. 练习 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 16 解析 由题意,得 ,故 选项A正确. 由与共线,可得 . 由,,三点共线,得 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 17 由平面向量基本定理,可得解得 所以,,即 ,故选项C,D正确. 由,,三点共线,得,即 ,化简为 , 由选项C可得 , 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 由平面向量基本定理，得解得 , 所以,即,故选项B错误.故选 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 2.已知在三角形中,为的中点,为 上一点,若 ,则 ___. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 20 解析 设.因为为 的中点,所以 , 所以 . 因为 , 所以解得 所以,所以,即 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 21 考点二 平面向量的坐标运算 例3（1）已知,,若,则 ( ). D A., B., C., D., 解析 因为 ,所以 , .故选D. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 22 （2）在正方形中，是的中点.若 ，则 的值为( ). B A. B. C. D.2 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 23 解析 在正方形中，以点为原点， ， 所在直线分别为， 轴建立平面直角坐标 系，如图所示. 令，则,， ， ，，， ， ， 所以 ，因为 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 24 ，所以 解得 所以 .故选B. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 方法总结 平面向量坐标运算的技巧 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则 进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. （2）解题过程中常利用“若向量相等，则其坐标相同”这一原 则,通过列方程（组）来进行求解. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 26 1.改编题 （北师大必修②PT改编）已知点 , ,向量,则向量 ( ). A A. B. C. D. 解析 设,则,故 解得 所以.又因为,所以 . 故选A. 练习 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 27 2.已知向量,, 在正方形网格中的位置如图 所示,若用基底{,}表示 ,则( ). D A. B. C. D. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 28 解析 建立平面直角坐标系如图所示,设正 方形网格的边长为1, 则,,, , 所以,, . 设向量,则 , 则解得 所以 .故选D. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 29 考点三 平面向量共线的坐标表示 热点考情:向量共线的坐标表示在平面向量中是一个非常重要的 知识点,它为解决向量共线或三点共线问题提供了一种便捷的方法, 可单独考查,也可与数量积、三角函数等结合考查. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 30 例4.改编题 （湘教必修②PT改编）已知点 , ,且，，，则点，， 的坐 标分别为_ ______________________ ,,, 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 31 解析 由题意得，设,, ，则 ， ， .由，得 解得 由,得解得 由 ,得解得故点，， 的坐标分 别为,,, . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 32 例5 （2024·上海卷）已知,，且，则 的值 为____. 解析 ，，解得 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 33 方法总结 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 （1）若<m></m>，<m></m>，其中<m></m>，则<m></m>的充要 条件是<m></m>. （2）在求与一个已知向量<m></m>共线的向量时，可设所求向量为 <m></m>. 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 34 1.已知向量,,若,则 ( ). A A. B.2 C. D.4 解析 ,则,解得 ,所以 , .故选A. 练习 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 35 2.已知在梯形中，，且，若点 ， ，，求点 的坐标. 解析 在梯形中，， ， ， 设点的坐标为，则 ， 又 ， ，即 点的坐标为 . 第36 课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 36 $$