第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 课件-2026届高三数学一轮复习

第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1.通过物理中的功等 实例,理解平面向量 数量积的概念及其物 理意义,会计算平面 向量的数量积. 2.通过几何 可直观了解 平面向量投 影的概念以 及投影向量 的意义. 3.会用 数量积 判断两 个平面 向量的 垂直关 系. 4.能用坐标 表示平面向 量的数量积, 会表示两个 平面向量的 夹角. 5.能用 坐标表 示平面 向量共 线、垂 直的条 件. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 必备知识·逐点梳理 一、向量的夹角 定义 已知两个非零向量和,作, ,则_______叫 作与 的夹角 _________________________________________________________ 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 范围 设 是与的夹角,则 的取值范围是______ 共线与 垂直 _____________;_ _____ 提醒 确定两个非零向量和 的夹角,必须将两个向量平移至同一起点. 或 续表 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 二、平面向量的数量积 条件 两个非零向量与的夹角为 结论 ___________叫作向量与 的数量积（或内积） 记法 记作,即 ___________ 规定 零向量与任一向量的数量积为___ 0 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 （1）若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定是锐 角.( ) × （2）若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角一定是钝 角.( ) × 判断 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 提醒（1）向量,的夹角为锐角且,不共线;向量, 的 夹角为钝角且, 不共线. （2）平面向量数量积运算的常用公式： ; ; . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 三、投影向量 条件 设,是两个非零向量,它们的夹角是 ,是与 方向相同的单 位向量,, 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 作图 _____________________________________ 过的起点和终点,分别作 所在直线的垂线,垂足分别 为,,得到 续表 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 结论 我们称上述变换为向量向向量______,叫作向量 在向 量 上的__________，记为_________ 提醒 向量在上的投影向量为,向量在 上的投影向量的模 为 . 投影 投影向量 续表 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 四、向量数量积的运算律 交换律 _____ 分配律 ___________ 数乘结合律 ________ 提醒（1）数量积不满足消去律,即 不能得出 ; （2）数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 五、平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量,,与的夹角为 . 结论 符号表示 坐标表示 模 夹角 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 结论 符号表示 坐标表示 的充要条件 _______________ 与 的 关系 续表 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 关键考点·核心突破 考点一 平面向量数量积的运算 例1.改编题 （北师大必修②PT改编）已知 ， ，当，满足下列条件时，分别求 的值. （1） ； （2） ； （3）与的夹角为 . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 解析 （1）因为，所以与的夹角为0或 ， 又， ， 所以当与的夹角为0时， ; 当与的夹角为 时， . （2）因为，所以与的夹角为 ， 所以 . （3）因为与的夹角为 ， 所以 . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 例2 （2023·全国乙卷）若正方形的边长是2， 是的中点，则 ( ). B A. B.3 C. D.5 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 解析 （法一：基底法）以, 为一个基底，可知 , ， 则, ， 所以 . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 （法二：坐标法）如图，以 为坐标原点建立 平面直角坐标系，则,, ， 可得, ， 所以 . 故选B. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 方法总结 解决向量数量积的运算问题的三种方法 （1）当已知向量的长度和夹角时,可直接利用定义法求解;若不 知长度和夹角,则以已知夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的 向量,再结合运算律展开求解. （2）当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系来表示 向量的坐标时,可利用坐标法求解. （3）利用向量数量积的几何意义求解. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 1.（2023·上海卷）已知向量,,则 ___. 解析 因为向量,,所以 . 练习 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 2.（2022·全国甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且 ， ，则____ 解析 设与的夹角为 ，因为与的夹角的余弦值为 ，即 ，且， ， 所以 ， 所以 . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 考点二 平面向量数量积的应用 热点考情:高考对数量积的考查主要从模、夹角、垂直、投影向 量等角度出发,常以客观题的形式出现. 考向1 求平面向量的模 例3 （2024·新高考Ⅱ卷）已知向量,满足, ，且 ，则 ( ). B A. B. C. D.1 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 解析 因为，所以，即 ，又 因为, ， 所以，则 .故选B. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 方法总结 求平面向量的模的两种方法 （1）公式法：利用<m></m>及 <m></m>,把向量模的运算转化为数量积的运算. （2）几何法：利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平 行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 （2023·新高考Ⅱ卷）已知向量,满足 , ,则 ____. 解析 因为, , 所以, , 所以,则 . 练习 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 考向2 求平面向量的夹角 例4 （2023·全国甲卷）已知向量, ，则 , ( ). B A. B. C. D. 解析 因为, ， 所以, ， 则,， ， 所以, .故选B. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 方法总结 求平面向量夹角的两种方法 （1）定义法：<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>. （2）坐标法：若<m></m>与<m></m>,则<m></m>, <m></m>,<m></m>,<m></m>. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 （2023·全国甲卷）已知向量,,满足, ,且 ,则, ( ). D A. B. C. D. 练习 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 解析 因为向量, , 且,所以 , 所以,即, , 解得,,所以 . 又, , 所以 , , 所以, .故选D. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 考向3 平面向量的垂直问题 例5 （2024·新高考Ⅰ卷）已知向量, .若 ，则 ( ). D A. B. C.1 D.2 解析 因为，所以 ， 所以,即，解得 . 故选D. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 方法总结 平面向量垂直问题的解法 （1）坐标法：当<m></m>,<m></m>时,若要证明<m></m>,则 只需证明<m></m>,即证明<m></m>. （2）向量法：把<m></m>,<m></m>用已知（模与夹角）的基底向量表示,进而 运算证明<m></m>. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 （2024·全国甲卷）设向量, ，则( ). C A.“”是“ ”的必要条件 B.“”是“ ”的必要条件 C.“”是“ ”的充分条件 D.“”是“ ”的充分条件 解析 对于A，当时， ， 练习 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 所以，解得或 ，即必要性不成立， 故A错误； 对于C，当时，,，故 ， 所以 ，即充分性成立，故C正确； 对于B，当时，，解得 ，即必要性不 成立，故B错误； 对于D，当时，不满足，所以 不成 立，即充分性不成立，故D错误. 故选C. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 考向4 投影向量 例6 已知,,向量与向量的夹角为 ,则①向量 在 向量上的投影向量为_ _____;②向量在向量 上的投影向量为 ______ 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 解析 因为,所以 为单位向量. 所以向量在向量 上的投影向量为 . ②因为,所以 , 所以向量在向量 上的投影向量为 . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 方法总结 投影向量的求法 方法一：用几何法作出恰当的垂线,直接得到投影向量. 方法二：利用公式,向量<m></m>在向量<m></m>上的投影向量为<m></m>, <m></m>. 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 （多选题）已知向量， ，则下列说法正确的 是( ). ACD A.若，则 B.若，则 C.“”是“与 的夹角为锐角”的充要条件 D.若，则在上的投影向量的坐标为， 练习 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 解析 对于选项A，若，则，因为 ，所 以，故 ，故选项A正确. 对于选项B，若，则，解得 ，故选项B错误. 对于选项C，当与的夹角为锐角时，由， ，得 ，即，得 ； 当时，可得， ， 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 而， ， 又当时，,得，此时 ， ，， 反向共线， 所以，，，即“”可以得出“与 的夹角为锐角”. 故选项C正确. 对于选项D，当时，，，则在 上 的投影向量的坐标为， ，故选项D正确. 故选 . 第 37 课时 平面向量的数量积及其应用 $$