第 35课时 平面向量的概念及其线性运算 课件-2026届高三数学一轮复习

第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1.理解平面向量的有关概 念、几何表示及向量相等的 含义. 2.掌握向量的加法、减法及数乘运 算，并理解其几何意义及向量共线的 含义. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 必备知识·逐点梳理 一、向量的有关概念 1.向量：既有大小又有______的量叫作向量，向量的大小称为向量 的______（或____）. 2.零向量：长度为___的向量，记作 . 3.单位向量：长度等于_____________的向量. 4.平行向量：方向相同或______的非零向量，也叫作共线向量，且 零向量与任意向量______ 方向 长度 模 0 1个单位长度 相反 平行 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 5.相等向量：长度相等且方向______的向量. 6.相反向量：长度相等且方向______的向量. 相同 相反 （1）若向量与同向，且，则 .( ) × （2）单位向量都相等.( ) × （3）任一非零向量都可以平行移动.( ) √ 判断 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 （4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( ) √ （5）若,则与 的方向相同或相反.( ) × （6）若,则 .( ) √ （7）零向量的方向是任意的.( ) √ （8）若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等.( ) × 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 二、向量的线性运算 向量 运算 法则（或几何意义） 运算律 加法 ________________________________ 交换律： . 结合律： 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 向量 运算 法则（或几何意义） 运算律 减法 ___________________________________________________ 续表 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 向量 运算 法则（或几何意义） 运算律 数乘 ，当时， 的 方向与 的方向______； 当时，的方向与 的方向 ______； 当时， ； ； 相同 相反 续表 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 提醒（1）平面向量的加法应抓住“共起点”和“首尾相连”.平面向量 的减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”. （2）中点公式的向量形式：若为线段的中点, 为平面内的任 意一点,则 . （3）若为的重心,则，. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 三、向量共线定理 向量与共线的充要条件：存在唯一一个实数 ，使 . 共线定理中为什么规定 ？ 答案 若将条件去掉，则，显然与共线；当 时， 不存在实数 ，使得，但此时向量与共线；当 时， 若，则对于任意实数 ，都有，与有唯一一个实数 ， 使得 矛盾. 思考 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 提醒（1）只有当时,共线定理中的实数 才存在且唯一. （2） , 为实数,若,, 三点共线,则 . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 关键考点·核心突破 考点一 平面向量的基本概念 例1（1）（多选题）下列说法正确的是( ). ABD A.若，，则 B.若四边形满足，则四边形 是平行四边形 C.若，，则 D.与非零向量共线的单位向量为 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 解析 对于A，由相等向量的定义知，A正确； 对于B，因为，所以且，则四边形 是平行四边形，故B正确； 对于C，若，则由，，无法得到 ，故C错误； 对于D，由单位向量和共线向量的定义可知，与非零向量 共线的单 位向量为，故D正确.故选 . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 （2）改编题 （苏教必修②PT改编）向量,,,, 如图所 示，小正方形的边长为1. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 ①是共线向量的有___________; 和,和 解析 因为,,所以和,和 是共线向量. ②方向相反的向量有___________; 和,和 解析 和,和 是方向相反的向量. ③模相等的向量有______. ,, 解析 由勾股定理可得,模相等的向量有,, . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 方法总结 平面向量有关概念的关注点 （1）共线向量即平行向量. （2）向量的平行不一定有传递性,只有非零向量的平行才具有 传递性. （3）两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量的 长度、起点无关. （4）与非零向量<m></m>同向的单位向量是<m></m>. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 1.设,是非零向量,则“”是“ ”的( ). B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由表示单位向量相等,得, 同向,但不能确定它们的模 是否相等,即不能推出；由表示, 同向且模相等,得 .故“”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 练习 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 2.改编题 （湘教必修②P习题1.1T 改 编）如图，在方格纸中，分别以两个格子的 格点 为起点和终点作向量. ①与 相等的向量是_______; , 解析 方向相同且模相等的向量为相等向量，故与 相等的向量为 , . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 ②与 相反的向量是_______; , 解析 方向相反且模相等的向量为相反向量，故与 相反的向量为 , . ③与 的模相等的向量是__________. ,, 解析 与的模相等的向量为,, . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 考点二 平面向量的线性运算 热点考情:平面向量的线性运算主要考查平面向量的加、减运算， 运算规则及其几何意义,常以平面向量为载体考查平行四边形法则、 三角形法则,题目多以客观题的形式出现. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 例2.改编题 （多选题）（人A必修②PT 改编）下列各式 化简结果正确的是( ). BC A. B. C. D. 解析 根据平面向量的加、减法运算法则易知选项B，C正确.故选 . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 例3 （2022·新高考Ⅰ卷）在中,点在边上, .记 ,,则 ( ). B A. B. C. D. 解析 如图,因为 所以,即 .故选B. , 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 方法总结 平面向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点 的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向 量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 1.改编题 （湘教必修②PT改编）设为平行四边形 对角线的交点，为平行四边形 所在平面内的任意一点，则 ( ). D A. B. C. D. 练习 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 解析 由已知，得, , , ， 因为,,所以 .故选D. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 2.如图,在平行四边形中,为 的中 点,点在线段上,且 ,记 ,,则 ( ). D A. B. C. D. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 解析 因为在平行四边形中,是的中点,, , , 所以 .故选D. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 考点三 向量共线定理及其应用 考向1 判定向量共线、三点共线 例4.改编题 （苏教必修②PT改编）已知，， 是不共 线的三点，且 . （1）若，求证：，， 三点共线. （2）若，，三点共线，求证： . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 解析 （1）若，则 ，由 ， 得 ， 即 ， 所以，即, 共线， 又,有公共点，所以，， 三点共线. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 （2）若，，三点共线，则存在实数 ，使得 ，变形 得，即 ，所以 ，又， ， 所以 . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 方法总结 利用向量共线定理解题的方法 （1）<m></m>是判断两个向量共线的主要依 据.若<m></m>,则<m></m>与<m></m>共线,且当<m></m>时,<m></m>与<m></m>同向;当<m></m>时, <m></m>与<m></m>反向. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 （2）要证明,,三点共线,只需证明与 共线,即证 .若已知,,三点共线,则必有与 共线,从而 存在实数 , 注意：若点在直线上,则根据三点共线设 或者设 ,再结合条件解题. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 改编题 （湘教必修②P练习T改编）已知与 不共线， ，，.求证：，， 三点共线. 解析 ， ， . 又，， . 又与有公共点，，， 三点共线. 练习 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 考向2 利用向量共线定理求参数 例5.改编题 （北师大必修②P97练习T3改编）设, 是两个 不共线的向量，已知,, . 若，，三点共线，则___;若，，三点共线，则 ____. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 解析 因为,，且，， 三点共线， 所以， ， 则，又,不共线，所以 解得 . 因为, ，所以 ， 又，，三点共线，所以， ，即 ，因此解得 . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 方法总结 利用向量共线定理求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件将其转化为相应 向量的系数相等来求解.若两个向量不共线，则向量的系数必为零， 利用待定系数法建立方程（组），从而求得参数. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 1.已知,是两个不共线的向量,且, , ,则( ). C A.,,三点共线 B.,, 三点共线 C.,,三点共线 D.,, 三点共线 练习 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 解析 因为,, , 所以, , . 若,,三点共线,则,即 无解,故A错误; 若,,三点共线,则,即 无解,故B错误; 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 若,,三点共线,则,即解得 ,故C正确; 若,,三点共线,则,即 无解,故D错误. 故选C. 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 2.如图，在中，，是 上 的点，若，则实数 的值是 ___. 解析 因为，所以 . 因为 ，且 ，， 三点共线， 所以，解得 . 第 35 课时 平面向量的概念及其线性运算 $$