14.2 三角形全等的判定 第4课时 尺规作图问题 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 14.2 三角形全等的判定 第4课时 尺规作图问题 第十四章·全等三角形 尺规作图问题 知识目标 1.作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形； 2.通过实践验证全等三角形的判定定理，明确作图步骤背后的数学依据. 能力目标 1.将抽象的文字描述转化为具体的图形表达，培养从条件出发设计合理作图路径的思维习惯； 2.能够清晰阐述作图依据，并用规范术语书写证明过程，实现“做中学、说中学”. 素质目标 1.体会尺规作图的历史意义，感受数学的美学与理性精神； 2.在小组互助中分享经验技巧，学会倾听他人思路并优化自身方案. 教学难点 教学重点 典型尺规作图的具体步骤 尺规作图的作图顺序 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 尺规作图的起源 古希腊数学家如欧几里得将尺规作图系统化，他在《几何原本》中详细阐述了尺规作图的基本规则和方法，这些规则成为后世几何学的重要基石，推动了数学的理论化发展。 古埃及人在土地丈量中使用简单的工具，如绳子和木棍，这些实践为尺规作图的初步发展奠定了基础。他们需要精确划分土地，以确保公平分配，这些经验逐渐积累，形成了早期的几何知识。 古希腊的理论奠基 古埃及的测量实践 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 尺规作图的发展历程 三大作图难题的提出 古希腊时期，数学家们提出了三个著名的尺规作图难题：化圆为方、倍立方体和三等分角。这些问题引发了无数数学家的研究，促进了数学理论的深入发展，尽管这些问题最终被证明无法用尺规解决，但其研究过程极大地丰富了数学知识。 中世纪的传播与改进 在中世纪，尺规作图的知识通过阿拉伯世界传播到欧洲。阿拉伯数学家对尺规作图进行了进一步的研究和改进，他们引入了新的作图方法和工具，为文艺复兴时期的数学复兴奠定了基础。 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 复习旧知 圆规 尺规作图的基本工具 直尺 直尺在尺规作图中用于画直线。它没有刻度，只能用来连接两点或延长已知直线。直尺的使用需要精确的操作，以确保所画直线的准确性，这是尺规作图的基础。 圆规用于画圆和弧线。它可以确定圆的半径和圆心，通过圆规可以构造出许多复杂的几何图形。圆规的使用需要掌握一定的技巧，如保持圆规的稳定性，确保所画圆的准确性。 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 复习旧知 作一条线段等于已知线段 a 尺规作图问题 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 尺规作图 只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图. 由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形. SSS SAS ASA AAS 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 知识回顾 判定两个三角形全等的条件 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 分析问题，寻找对应 线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素. 如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 任务1：尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形 已知：已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为 a，b，c． 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形 已知：已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为 a，b，c． 任务1 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C. a b c 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形 任务1 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 作法： 第一步：作线段AB等于c； 第二步：以点A为圆心，以b为半径画弧长； c B A c B A b 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形 任务1 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 作法： 第三步：以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点C； c B A b a 第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求. c B A b a C 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角 已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 任务2 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分析： 一个三角形的三条边、三个角是确定的. 如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，能否得到与∠AOB 一样大小的角？为什么？ O A B 能，因为全等三角形的对应角相等. 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角 已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 任务2 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 思考1： 如何围绕∠AOB 构建一个三角形？ O A B 如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角. C D 为了作图方便，一般取 OC = OD. 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角 已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 任务2 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 思考2：为了作出与△COD 全等的三角形，哪种三角形全等的判定方法可以作为作图依据？ O A B 如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角. C D 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角 已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 任务2 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 O A B 第一步：以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； C D 第二步：作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； O' A' C' 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角 已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 任务2 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 O A B 第三步：以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 D'； C D 第四步： 过点 D' 作射线 O'B'，则∠A'O'B' = ∠AOB. O' A' C' D' B' 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规过直线外一点作这条直线的平行线 与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图. 任务3 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 回顾：我们学过的判定两直线平行的方法有哪些？ ① 同位角相等，两直线平行； ② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行； ④ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 这是尺规作图的依据 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. 例1 C A B 作法： (1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点 E； C A B E (2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB； F D (3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD // AB. 解：如图，直线 CD 即所求作直线. 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形 已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. 任务4 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 a b α 先作一个角等于已知角 在作出的角的两边上截取指定长度的边 确定三角形的三个顶点的位置 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形 已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. 任务4 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 α A D E 第一步，作∠DAE＝∠α； 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形 已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. 任务4 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A D E A D E B C 第二步，在射线 AD 上作 AB = a，在射线 AE 上作 AC = b； 分析问题，寻找对应 尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形 已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. 任务4 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A D E A D E B C 第三步，连接 BC，则△ABC 就是所求作的三角形. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段 a. a α β A B C 解：如图，△ABC 即所求作的三角形. a α β 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2. 如图，已知∠AOB，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧①，分别交 OA，OB 于点E，F，再以点 E 为圆心，以 EF 长为半径作弧，交弧①于点 D，画射线 OD. 若∠AOB = 28°，则∠BOD 的度数为（ ） A. 34° B. 62° C. 56° D. 124° C 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3. 已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，判定这两个三角形全等的理由为（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA D 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2024·北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法. (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D: (2)作射线O’A’，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C;以点C’为圆心，CD长为 半径画弧，两弧交于点D’; (3)过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’= ㄥAOB 上述通过判定ΔC’O’D’≌ΔCOD得到∠A’O’B’= ∠AOB,其中判定ΔC’O’D’≌COD的依据是( ) A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 A 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2024·山东德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线，下列作图痕迹不正确的是( ) A B C D B 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.（2024·江苏扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C. 用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示 ∴∠COQ=2∠CAQ; 点0即为所求 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 尺规作图的几种情况 独立完成尺规作图要求 明确尺规作图的依据 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 尺规作图 只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图. 由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形. SSS SAS ASA AAS 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 尺规作图 依据：SSS 依据：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行” 作一个角等于已知角 过直线外一点作这条直线的平行线 已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P44：习题14.2：9题. B层：P44：习题14.2：10题. 下 课 $$