抽象函数小题综合练习——2026届高三数学一轮复习

抽象函数小题综合练习 一、单选题 1.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)函数为偶函数,则（ ） A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 【答案】D 【分析】因为y=f(x+8)为偶函数,所以f(x+8)=f(−x+8)即y=f(x)关于直线x=8对称.又f(x)在(8,+∞)上为减函数,故在(−∞,8)上为增函数,所以f(7)>f(6)=f(10). 故选D. 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且函数的图象关于直线x=2对称．则函数f(x)( ) A.是周期函数,其一个周期为2 B.是周期函数,其一个周期为4 C.是周期函数,其一个周期为8 D.不是周期函数 【答案】C 【分析】 由函数f(x)的图象关于直线x=2对称, 有f(x+2)=f(2−x),即有f(−x)=f(x+4)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(−x)=−f(x)．故f(x+4)=−f(x)． 从而f(x+8)=−f(x+4)=f(x)． 即f(x)是周期为8的周期函数． 故选：C． 3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，则下列函数中一定是奇函数的是（ ） A.y=x·f(x) B.y=2 x·f(x) C.y=sinx·f(x) D.y=cosx·f(x) 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项： 对于A，y=x·f(x)，其定义域为R，有(−x)f(−x)=x·f(x)， 函数y=x·f(x)是偶函数，不符合题意； 对于B，y=2x·f(x)，其定义域为R，有2−x·f(−x)=−2−x·f(x)−(2 x·f(x))， 函数y=2x·f(x)不是奇函数，不符合题意； 对于C，y=sinx·f(x)，其定义域为R，有sin(−x)f(−x)=sinx·f(x)， 函数y=sinx·f(x)是偶函数，不符合题意； 对于D，y=cosx·f(x)，其定义域为R，有cos(−x)f(−x)=−cosx·f(x)， 函数y=cosx·f(x)是奇函数，符合题意； 故选：D． 4.已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x−1)为奇函数；④函数f(x−3)为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0， 即有f(−x)=f(x)=−f(2−x)， 即为f(x+2)=−f(x)，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)， 可得f(x)的最小正周期为4，故①错误；②正确； 由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+1)=−f(x−1)， 又f(−x−1)=f(x+1)，即有f(−x−1)=−f(x−1)，故f(x−1)为奇函数，故③正确； 由f(−x−3)=f(x+3)，若f(x−3)为偶函数，即有f(−x−3)=f(x−3)， 可得f(x+3)=f(x−3)，即f(x+6)=f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误。 5.设函数f(x)的定义域为R,则下列命题中真命题的个数为( ) ①函数y=f(x+1)与函数y=f(1−x)的图象关于直线x=1对称; ②若函数f(x+2)为奇函数,则f(1)+f(2)+f(3)=0; ③若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且对任意x都有f(x+2)=−f(x),则f(x)的图象关于点(−2,0)对称; ④若对任意x 1,x 2都有f(x 1 +x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1,,则函数为f(x)+1为奇函数． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】本题考查函数的图像变换,函数的奇偶性,函数的对称性.f(x+1)=f(1−x)关于直线x=1对称,①对; g(x)=f(x+2)为奇函数g(−1)+g(0)+g(1)=f(1)+f(2)+f(3)=0,②对; ③错; f(0)=f(0)+f(0)+1,f(0)=−1,f(x−x)=f(x)+f(−x)+1=f(0)=−1,f(x)+f(−x)=−2,令h(x)=f(x)+1,h(x)+h(−x)=f(x)+f(−x)+2=0. 函数为奇函数;④对. 选C. 6.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+)=−f(x)，且函数y=f(x−)为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f(x)是周期函数； ②函数f(x)的图象关于点(−,0)对称； ③函数f(x)为R上的偶函数； ④函数f(x)为R上的单调函数． 其中真命题的序号为（ ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 【答案】B 【分析】f(x+3)=f[(x+)+]=−f(x+)=f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，①正确； 函数f(x−)是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点(−,0)对称，②正确； 因为f(x)的图象关于点(−,0)对称，−=，又f(−+x)=−f(−+x+)=−f(x)，所以f(−x)=f(x)，③正确； f(x)是周期函数，在R上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③． 故选B． 7.设函数f(x)的定义域为R，则“∀x∈R，f(x+1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】“函数f(x)为增函数”⇒“∀x∈R，f(x+1)>f(x)”，具有必要性；但是∀x∈R，满足f(x+1)>f(x)，函数f(x)不为增函数，例如当f(x)= 时，故不具有充分性． 故答案为B． 8.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y=f(x)−1为奇函数，则不等式f(x)<e x的解集为（ ） A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(−∞,e 4) D.(e 4 ,+∞) 【答案】B 【分析】令g(x)= ，则g (x)= =,∵，即g(x)为减函数， ∵y=f(x)−1为奇函数，∴f(0)−1=0，即f(0)=1，g(0)=1，则不等式f(x)<e x等价于<1=g(0)， 即g(x)<g(0)，解得x>0，∴不等式的解集为(0,+∞)， 故选：B. 9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(−∞,−1)∪(−1,0) B.(0,1)∪(1,+∞) C.(−∞,−1)∪(0,1) D.(−1,0)∪(1,+∞) 【答案】D 【分析】由题意设g(x)= ，g (x)= ∵当x>0时，有>0， ∴当x>0时，g′(x)>0， ∴函数g(x)=在(0,+∞)上为增函数， ∵函数f(x)是奇函数， ∴g(−x)=g(x)， ∴函数g(x)为定义域上的偶函数， g(x)在(−∞,0)上递减， 由f(−1)=0得，g(−1)=0， ∵不等式f(x)>0⇔xg(x)>0， ∴或， 即有x>1或−1<x<0， ∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(−1,0)∪(1,+∞)， 故选：D． 10.已知函数y=f(x)+x3为偶函数，且f(10)=10，若函数g(x)=f(x)+7，则g(−10)=（ ） A.−10 B.7 C.2016 D.2017 【答案】D 【分析】 设h(x)=f(x)+x3，由题意可得h(x)为偶函数，所以h(−10)=h(10)，即f(−10)+(−10)3=f(10)+103， 故f(−10)=f(10)+2×103=2010，所以g(−10)=f(−10)+7=2017． 故选：D． 11.设函数f(x)(x∈R)满足f(−x)=f(x)，f(x)=f(2−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x3，又函数g(x)=，则函数h(x)=g(x)−f(x)零点的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】由f(−x)=f(x)，知函数f(x)为偶函数，又当x∈[0,1]时，f(x)=x3，设x∈[1,2]，则2−x∈[0,1]， ∴当x∈[1,2]时，f(x)=f(2−x)=(2−x)3． 由f(x)=f(2−x)，可得f(2+x)=f(−x)=f(x)，知函数f(x)的周期为2． 作出函数f(x)与函数g(x)=的图象如图： 函数y=g(x)与y=f(x)的交点个数有6个， ∴函数h(x)=g(x)−f(x)零点的个数为6． 故选：D． 12.已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)=3x−1，则x>0时，f(x)=( ) A.3x−1 B.3x+1 C.−3x−1 D.−3x+1 【答案】C 【分析】 若x>0，则−x<0， ∵当x<0时，f(x)=3x−1， ∴f(−x)=−3x−1 ∵函数f(x)是偶函数， ∴f(x)=f(−x)=−3x−1 故选：C． 13.已知函数y=f(x)满足y=f(−x)和y=f(x+2)都是偶函数,且f(1)=1,则f(−1)+f(7)=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】因为y=f(−x)是偶函数,所以y=f(x)是偶函数,图象关于y轴对称;又因为y=f(x+2)是偶函数,所以y=f(x+2)的图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,因此函数y=f(x)的对称轴为x=2n(n是整数),因为f(1)=1,所以f(−1)=1;f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=1,则f(−1)+f(7)=2. 14.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f(0)+f(3)=6，则f()=（ ） A.−​ B.−​ C.​ D.​ 【答案】D 【分析】因为f(x+1)是奇函数，所以f(−x+1)=−f(x+1)①； 因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)②． 令x=1，由①得：f(0)=−f(2)=−(4a+b)，由②得：f(3)=f(1)=a+b， 因为f(0)+f(3)=6，所以−(4a+b)+a+b=6⇒a=−2， 令x=0，由①得：f(1)=−f(1)⇒f(1)=0⇒b=2，所以f(x)=−2x2+2． 思路一：从定义入手． f()=f(+2)=f(−+2)=f(−)， f(−)=f(−+1)=−f(+1)=−f()， −f(=−f(+2)=−f(−+2)=−f()， 所以f()=−f()=​． 思路二：从周期性入手． 由两个对称性可知，函数f(x)的周期T=4． 所以f()=f()=−f)=​． 故选：D． 15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[m,n]上有（ ） A.最小值f(m) B.最大值f(n) C.最小值f(n) D.最大值f(2m+n) 【答案】C 【分析】函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，定义为R． 令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0；再令y=−x，代入原式得f(0)=f(x)+f(−x)=0，所以f(−x)=−f(x)，故该函数为奇函数且图象过原点； 设x 1，x2∈R，x 1x2则f(x 1)−f(x 2)=f(x1−x2)>0，即函数f(x)是[m,n]上的减函数，从而得到最小值为f(n)． 故选：C． 16.函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)是奇函数，f(x−1)是偶函数，则（ ） A.f(x)是奇函数 B.f(x+3)是偶函数 C.f(3)=0 D.f(x)=f(x+3) 【答案】B 【分析】因为f(x+1)是奇函数， ∴f(x+1)=−f(−x+1）， ∵f(x−1)是偶函数， ∴f(x−1)=f(−x−1)，即f(x+1)=f(−x−3)， ∴−f(−x+1)=f(−x−3)⇒f(x)+f(x+4)=0， 则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即周期为8； 另一方面f(x+5)=−f(x+1)=f(−x+1)， ∴f(x+3)=f(−x+3)，即f(x+3)是偶函数. 故选：B. 二、多选题 17.已知定义在R上的连续函数f(x)，其导函数为f′(x)，且f(0)=e，f()=1，函数y=f′(x+ )为奇函数，当x>时，f′(x)>f(x)，则（ ） A.f(1)=e B.f(2)>e2 C.∃x 0∈R，f(x0)<1 D.f(e0.1)>f(−ln1.1) 【答案】ABD 【分析】A项，在f(x)中，f(0)=e，f()=1，函数y=f′(x+)为奇函数， 所以函数y=f(x+)为偶函数，则f(x+)=f(−x+)， 所以函数f(x)关于x=对称， 所以f(1)=f(0)=e，故A正确； B项，令g(x)= ， 因为当x>时f′(x)>f(x)， 所以当x>时，g′(x)==，函数g(x)单调递增， 所以g(2)= >g(1)===1， 所以f(2)>e2，B正确； C项，当x>时，g(x)= g()0 所以f′(x)>f(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以当x< 时，函数f(x)单调递减， 则f(x)在x=取得最小值为1， 所以不存在x 0∈R，f(x 0)<1，C错误； D项，由函数f(x)关于x=对称， 当x>0时，令h(x)=ex−x，h′(x)=e x−1>0，函数h(x)单调递增， 所以h(x)=ex−x>h(0)=e0−0=1，则ex>x+1， 所以e 0.1>1+0.1=1.1，e 0.1−>1.1−=0.6， 令φ(x)=ln(1+x)−x，φ′(x)=1<0， 所以函数φ(x)单调递减，φ(x)=ln(1+x)−x<φ(0)=ln(1+0)−0=0， 所以ln(1+x)<x， 所以ln1.1=ln(1+0.1)<0.1， −(−ln1.1)<+0.1=0.6， 所以e 0.1与 的差大于与−ln1.1的差， 因为函数f(x)关于x=对称，当x>时，函数f(x)单调递增， 所以f(x0.1)>f(−ln1.1)，D正确； 故选：ABD. 18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则（ ） A.函数y=f(x)是周期函数 B.函数y=f(x)的图象关于点(−1,0)对称 C.函数y=f(x)为R上的偶函数 D.函数y=f(x)为R上的单调函数 【答案】ABC 【分析】本题考查函数的图象与性质． f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)是周期函数且周期为4，故A正确； 因为函数y=f(x−1)是奇函数，所以其函数图象关于原点对称，又函数f(x)的图象由函数y=f(x−1)的图象向左平移1个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(−1,0)对称，故B正确； 由B选项可知，对于任意的x∈R，都有f(−1−x)=−f(−1+x)，所以f(−2−x)=−f(x)，f(−2−x)=f(x+2)，令t=2+x，则f(−t)=f(t)，所以函数f(x)是偶函数，故C正确，D错误， 故选：ABC． 19.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若函数y=f(1+2x)，y=x−f(x+2)都为偶函数，令g(x)=f′(x)，则下列结论正确的有（ ） A.f(x)的图象关于x=1对称 B.g(x)的图象关于点(2,0)对称 C.g(1)=0 D.=150 【答案】AC 【分析】根据题意y=f(1+2x)为偶函数可得y=f(1+2x)=f(1−2x)， 即可知y=f(1+x)=f(1−x)，所以函数f(x)的图象关于x=1对称，即A正确； 由y=x−f(x+2)是偶函数可得y′=−f′(x+2)为奇函数， 所以满足 −f′(x+2)+−f′(-x+2)，即g(x+2)+g(−x+2)=1， 因此g(x)的图象关于点(2,)成中心对称，所以B错误； 由f(1+x)=f(1−x)可知f′(1+x)=−f′(1−x)，所以f′(1+x)+f′(1−x)=0； 即g(1+x)+g(1−x)=0，所以g(x)的图象关于点(1,0)成中心对称， 因此g(1)=0，故C正确； 易知g(1)=0，g(2)=， 由g(1+x)=g(1−x)=0可得g(x)+g(2−x)=0， 联立g(x+2)+g(−x+2)=1可得g(x+2)−g(x)=1， 所以g(x+2)=g(x)+1， 即g(3)=g(1)+1=1，g(4)=g(2)+1=， 所以g(k)是以g(1)=0为首项，公差d=的等差数列， 所以=24×g(1)＋138，故D错误. 故选：AC. 20.函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数，则（ ） A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数 C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数 【答案】ABC 【分析】由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称， 所以f(x)+f(2−x)=0，f(x)+f(4−x)=0， 所以f(2−x)=f(4−x)，即f(x)=f(x+2)， 所以f(x)是以2为周期的函数． 所以f(x)，f(x+3)，f(x+4)均为奇函数． 故选：ABC． 21.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2−x)，则（ ） A.f(1)=0 B.f(x)=f(x+4) C.f(x+1)=−f(−x−1) D.y=f(x)在区间[0,50]上至少有25个零点 【答案】ABD 【分析】函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数， ∴f(1)=0，故A正确； ∵f(x+1)为奇函数， ∴f(x+1)=−f(−x+1)，故C错误； ∵f(2+x)=f(2−x)， ∴f[2+(2+x)]=f[2−(2+x)]， 即f(x+4)=−f(x)， ∵f(x+1)为奇函数， ∴f(x)关于(1,0)对称， ∵f(2+x)=f(2−x)， ∴f(x)关于x=2对称， ∴f(x)为周期为4的偶函数， ∴f(−x)=f(x)， ∴f(x+4)=f(x)，故B正确； ∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)， ∵f(1)=0，且函数f(x)为周期为4的偶函数，f(x)关于x=2对称， ∴f(1)=f(3)=f(5)=⋯=f(49)=0， ∴f(x)在区间[0,50]上至少有25个零点，故D正确． 故选：ABD． 3、 填空题 22.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f ′(x)，满足f ′(x)<f(x)且y=f(x+1)为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x)<ex的解集为-________. 【答案】(0,+∞) 【分析】∵y=f(x+1)为偶函数 ∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称 ∴y=f(x)的图象关于x=1对称 ∴f(2)=f(0) 又∵f(2)=1 ∴f(0)=1 设g(x)=(x∈R)，则g′(x)== 又∵f′(x)<f(x) ∴f′(x)−f(x)<0 ∴g′(x)<0 ∴y=g(x)单调递减 ∵f(x)<ex ∴<1 即g(x)<1 又∵g(0)==1 ∴g(x)<g(0) ∴x>0 故答案为：(0,+∞) 23.已知函数f(x),g(x)是定义在R上的一个奇函数和偶函数,且f(x−1)+g(x−1)=2x,则函数f(x)=_____． 【答案】2x−2−x 【分析】根据题意,f(x−1)+g(x−1)=2x,则f(x)+g(x)=2x+1①, 进而有f(−x)+g(−x)=2−x+1, 又由函数f(x),g(x)是定义在R上的一个奇函数和偶函数, 则有f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x), 即有−f(x)+g(x)=2−x+1②, 联立①②可得：f(x)=(2x+1-2-x+1)=2x−2−x 即f(x)=2x−2−x 故答案为：2x−2−x 24.定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题: ①函数f(x)满足f(x+4)=f(x)； ②函数f(x)图象关于点(1,0)对称； ③函数f(x)的图象关于直线x=2对称； ④函数f(x)的最大值为f(2)； ⑤f(2009)=0. 其中正确的序号为._________ 【答案】 ①②③⑤ 【分析】 由题意得f(x+2)=−f(x),所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x),所以①正确. 因为函数y=f(x+1)为奇函数,所以图像关于原点对称, 而函数y=f(x)的图像可由函数y=f(x+1)的图像向右平移一个单位长度得到, 所以y=f(x)的图像关于点(1,0)对称,所以②正确. 因为函数y=f(x+1)为奇函数,所以f(−x+1)=−f(x+1), 令t=−x+1,则x=1−t,所以f(t)=−f(2−t),所以f(2−t)=−f(t)=f(t+2), 所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,故③正确. 由条件不能得出函数y=f(x)的单调性,所以不能确定函数的最大值.故④错误. 因为y=f(x+1)为奇函数,所以f(0+1)=f(1)=0, 由①得f(x+4)=f(x),所以f(2009)=f(2005)=⋯=f(1)=0,故⑤正确. 25.已知y=f(x)−3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f′(x)满足f′(1+x)=f′(1−x)，则f′(2026)=_____． 【答案】3 【分析】 因为y=f(x)−3x是定义域为R的偶函数，所以f(−x)−3(−x)=f(x)−3x，即f(−x)+3x=f(x)−3x f(−x)+3x=f(x)−3x两边求导，可得：−f′(−x)+3=f′(x)−3，可得f′(x)+f′(−x)=6. 因为f′(1+x)=f′(1−x)，所以f′(x)的图象关于直线x=1对称，则f′(x)=f′(2−x). 用代替可得f′(−x)=f′(2+x). 将f′(−x)=f′(2+x)代入f′(x)+f′(−x)=6中，可得f′(x)=f′(2+x)=6 ①. 用x+2代替x可得f′(x+2)=f′(x+4)=6 ②. 由②−①可得：f′(x+4)=f′(x). 所以f′(x)是周期为4的周期函数. 所以f′(2026)=f′(4×506+2)=f′(2). 在f′(x)+f′(−x)=6中，令x=2，可得f′(2)+f′(−2)=6. 又因为f′(x)的图象关于直线x=1对称，所以f′(2)=f′(0). 在f′(x)+f′(−x)=6中，令x=0，可得2f (0)=6，解得f′(0)=3， 所以f′(2)=3，即f′(2026)=3. 故答案为：3. 26.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有________． ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=−x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=−x恒成立； ③使得f(x)+f(−x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)−f(−x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 【答案】②③ 【分析】 对于①，若存在R上的增函数f(x)，满足f(x)+f(2x)=−x， 则f(0)+f(2×0)=−0即f(0)=0， 故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x)， 故−2x>−x即x<0，矛盾，故①错误； 对于②，取f(x)=−x，该函数为R上的减函数且f(x)+f(2x)=−x， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取f(x)= cosx+mx，m∈R， 此时f(x)+f(−x)=cosx，由m∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确； 对于④，若存在f(x)，使得f(x)−f(−x)=cosx， 令x=0，则0=cos0，但cos0=1，矛盾， 故满足f(x)−f(−x)=cosx的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 27.已知函数f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数，且f(x)<xf′(x)．则不等式x2f()−f(x)<0的解集为_______． 【答案】(1,+∞) 【分析】因为f(x)<xf′(x)， 令g(x)=，x∈(0,+∞)，则g′(x)=0 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增， 不等式x2f()−f(x)<0，即 即g()<g(x)，所以，解得x>1， 即不等式x2f()−f(x)<0解集为(1,+∞). 故答案为：(1,+∞) 28.已知函数f(x)满足f(x)=f(x−3)+1，且f(0)=0，则f(2025)=_______. 【答案】675 【分析】由题意得 f(2025)=f(2022)+1=f(2019)+×1=…=f(0)+×1=675． 故答案为：675. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抽象函数小题综合练习 一、单选题 1.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)函数为偶函数,则（ ） A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且函数的图象关于直线x=2对称．则函数f(x)( ) A.是周期函数,其一个周期为2 B.是周期函数,其一个周期为4 C.是周期函数,其一个周期为8 D.不是周期函数 3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，则下列函数中一定是奇函数的是（ ） A.y=x·f(x) B.y=2 x·f(x) C.y=sinx·f(x) D.y=cosx·f(x) 4.已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x−1)为奇函数；④函数f(x−3)为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.设函数f(x)的定义域为R,则下列命题中真命题的个数为( ) ①函数y=f(x+1)与函数y=f(1−x)的图象关于直线x=1对称; ②若函数f(x+2)为奇函数,则f(1)+f(2)+f(3)=0; ③若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且对任意x都有f(x+2)=−f(x),则f(x)的图象关于点(−2,0)对称; ④若对任意x 1,x 2都有f(x 1 +x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1,,则函数为f(x)+1为奇函数． A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+)=−f(x)，且函数y=f(x−)为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f(x)是周期函数； ②函数f(x)的图象关于点(−,0)对称； ③函数f(x)为R上的偶函数； ④函数f(x)为R上的单调函数． 其中真命题的序号为（ ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 7.设函数f(x)的定义域为R，则“∀x∈R，f(x+1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y=f(x)−1为奇函数，则不等式f(x)<e x的解集为（ ） A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(−∞,e 4) D.(e 4 ,+∞) 9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(−∞,−1)∪(−1,0) B.(0,1)∪(1,+∞) C.(−∞,−1)∪(0,1) D.(−1,0)∪(1,+∞) 10.已知函数y=f(x)+x3为偶函数，且f(10)=10，若函数g(x)=f(x)+7，则g(−10)=（ ） A.−10 B.7 C.2016 D.2017 11.设函数f(x)(x∈R)满足f(−x)=f(x)，f(x)=f(2−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x3，又函数g(x)=，则函数h(x)=g(x)−f(x)零点的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 12.已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)=3x−1，则x>0时，f(x)=( ) A.3x−1 B.3x+1 C.−3x−1 D.−3x+1 13.已知函数y=f(x)满足y=f(−x)和y=f(x+2)都是偶函数,且f(1)=1,则f(−1)+f(7)=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 14.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．若f(0)+f(3)=6，则f()=（ ） A.−​ B.−​ C.​ D.​ 15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[m,n]上有（ ） A.最小值f(m) B.最大值f(n) C.最小值f(n) D.最大值f(2m+n) 16.函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)是奇函数，f(x−1)是偶函数，则（ ） A.f(x)是奇函数 B.f(x+3)是偶函数 C.f(3)=0 D.f(x)=f(x+3) 二、多选题 17.已知定义在R上的连续函数f(x)，其导函数为f′(x)，且f(0)=e，f()=1，函数y=f′(x+ )为奇函数，当x>时，f′(x)>f(x)，则（ ） A.f(1)=e B.f(2)>e2 C.∃x 0∈R，f(x0)<1 D.f(e0.1)>f(−ln1.1) 18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则（ ） A.函数y=f(x)是周期函数 B.函数y=f(x)的图象关于点(−1,0)对称 C.函数y=f(x)为R上的偶函数 D.函数y=f(x)为R上的单调函数 19.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若函数y=f(1+2x)，y=x−f(x+2)都为偶函数，令g(x)=f′(x)，则下列结论正确的有（ ） A.f(x)的图象关于x=1对称 B.g(x)的图象关于点(2,0)对称 C.g(1)=0 D.=150 20.函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数，则（ ） A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数 C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数 21.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2−x)，则（ ） A.f(1)=0 B.f(x)=f(x+4) C.f(x+1)=−f(−x−1) D.y=f(x)在区间[0,50]上至少有25个零点 3、 填空题 22.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f ′(x)，满足f ′(x)<f(x)且y=f(x+1)为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x)<ex的解集为-________. 23.已知函数f(x),g(x)是定义在R上的一个奇函数和偶函数,且f(x−1)+g(x−1)=2x,则函数f(x)=_____． 24.定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题: ①函数f(x)满足f(x+4)=f(x)； ②函数f(x)图象关于点(1,0)对称； ③函数f(x)的图象关于直线x=2对称； ④函数f(x)的最大值为f(2)； ⑤f(2009)=0. 其中正确的序号为._________ 25.已知y=f(x)−3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f′(x)满足f′(1+x)=f′(1−x)，则f′(2026)=_____． 26.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有________． ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=−x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=−x恒成立； ③使得f(x)+f(−x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)−f(−x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 27.已知函数f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数，且f(x)<xf′(x)．则不等式x2f()−f(x)<0的解集为_______． 28.已知函数f(x)满足f(x)=f(x−3)+1，且f(0)=0，则f(2025)=_______. 学科网（北京）股份有限公司 $$