1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、最短路径问题 1.如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（　　） A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm 2.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm 3.如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 5.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 二、勾股定理的的逆定理 1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边 B.如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角 C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角 D.a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边 2.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF等于（　　） A.30° B.45° C.60° D.35° 3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 4.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　     　°． 5.已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为_____ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　     　，CD的长为 　   　，AD的长为 　    　． （2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形． 7.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 三、直角三角形的性质 1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　） A.100度 B.120度 C.135度 D.140度 2.如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A.135° B.150° C.120 D.110° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为         . 5.如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC，若∠1=50°，则∠C的度数为      . 6.如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D=45°，∠B=30°，求∠1的度数． 7.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）如图①所示，当点P运动至∠α=50°时，则∠1+∠2=         ； （2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由． 四、勾股定理的应用 1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 2.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 3.如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（　　） A.3m B.m C.2m D.3 4.如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 5.如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　    　km． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 7.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 五、勾股数 1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3 B.1，，2 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 2.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　） A. B.5 C.5或7 D.5或 3.下列说法正确的是（　　） A.的平方根是±4 B.无限小数是无理数 C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数 D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数 4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝　   　． 5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 7.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8，15，17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 六、勾股定理 1.如图，字母A所代表的正方形的面积为（　　） A.4 B.16 C.36 D.64 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 3.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，那么斜边c的长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.14 4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　     　． 5.如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 　    　cm2． 6.如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． （1）图1中正方形ABCD的面积为 　   　，边长为 　   　； （2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ．所作的正方形的边长为2． ②请在图2中的数轴上标出表示实数2的点，保留作图痕迹． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D． 求：（1）AB的长； （2）CD的长． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m＞n,那么m2＞n2；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题中： （1）对顶角相等； （2）相等的角是对顶角； （3）同一个角的两个邻角是对顶角； （4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角； 其中，互为逆命题的是（　　） A.（1）和（2） B.（2）和（3） C.（1）和（3） D.（1）和（4） 3.已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　） A.如果a=b,那么|a|=|b| B.如果|a|=|b|，那么a=b C.如果a≠b,那么|a|≠|b| D.如果|a|≠|b|，那么a≠b 4.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为                        ． 5.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 7.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②∠A=∠B；③CE平分∠DCA．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 八、用HL判定三角形全等 1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 3.能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 7.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、最短路径问题 1.如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（　　） A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm 【答案】B 【解析】将圆柱表面切开展开呈长方形， 则求螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的对角线长， 因为圆柱高2.1m，底面周长0.4m， x2＝（40×7）2+2102＝122500， 解得x＝350， 所以，彩带长至少是350cm． 故选：B． 2.某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A.30cm B.30cm C.60cm D.20πcm 【答案】B 【解析】∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm， 设扇形的圆心角为n度， ∴＝20π， 解得n＝120， ∴∠ABA′＝120°， 作BC⊥AA′于点C， ∴∠BAA′＝30°， ∴BC＝15cm， ∴AC＝15cm， ∴AA′＝2AC＝30cm， ∴这条彩带的最短长度是30cm． 故选：B． 3.如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　） A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm 【答案】C 【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm）， BC＝＝10（cm）， 由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm）， ∴所用细线最短为26cm， 故选：C． 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 5.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】13 【解析】如图所示， ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为13． 6.如图，在一个圆柱上、下底面上有相对的A，B两点，现将一根红线沿侧面缠绕圆柱一圈，并且经过A，B两点，若圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，那么至少需红线多长？（π取3） 【答案】解 把圆柱体展开如图， ∵点B应为展开图长方形一边的中点， ∴AC为底面圆周长的一半，AC＝6cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10（cm）， ∴红线的长为10×2＝20（cm）， ∴至少需红线20cm． 7.（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】解 （1）由题意得，该长方体中能放入木棒的最大长度是（cm）． （2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm， 所以最短路程为cm； （3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝13（cm）． 二、勾股定理的的逆定理 1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A.如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边 B.如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角 C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角 D.a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边 【答案】A 【解析】A.∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝180°÷2＝90°， ∴△ABC是直角三角形，a为斜边，符合题意； B.∵a2＝b2﹣c2， ∴b2＝c2+a2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C.∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D.∵a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 2.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF等于（　　） A.30° B.45° C.60° D.35° 【答案】B 【解析】连接EF． ∴AE＝＝，EF＝＝，AF＝＝． ∵AE2+EF2＝AF2，AE＝EF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°． 故选：B． 3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， ∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2， ∴以3m，4m，5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 4.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　     　°． 【答案】90． 【解析】∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D， ∴AD＝AC＝3， ∴AB＝AD+BD＝3+2＝5， ∵BC＝4， ∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°． 故答案为90． 5.已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为_____ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】10或2 【解析】当6cm和8cm都是直角边时，第三边长为＝10（cm）， 当8cm为斜边时，第三边长为＝＝2（cm）， 故答案为：10或2． 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　     　，CD的长为 　   　，AD的长为 　    　． （2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形． 【答案】解 （1）AC＝＝； CD＝＝； AD＝＝5． （2）由（1）知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， 故△ACD是直角三角形． 7.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15， ∴AB2+AD2＝BD2， BD2+BC2＝DC2． ∴△ABD，△BDC是直角三角形． ∴∠A＝90°，∠DBC＝90°． 故这个零件符合要求． 三、直角三角形的性质 1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　） A.100度 B.120度 C.135度 D.140度 【答案】C 【解析】如图，∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-90°=90°， ∵AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°， ∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°． 故选：C． 2.如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】延长BC交直线b于点F，如图所示： ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=90°， ∵∠1=20°， ∴∠AFC=90°-∠1=70°， ∵直线a∥b, ∴∠DEC+∠AFC=180°， ∴∠DEC=180°-70°=110°， ∴∠2=∠DEC=110°， 故选：C． 3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　） A.135° B.150° C.120 D.110° 【答案】A 【解析】∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC， ∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA， ∴∠FAB+∠FBA＝ (∠CAB+∠CBA)＝45°， ∴∠AFB=180°-45°=135°． 故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为         . 【答案】60° 【解析】∵∠ABD=15°，∠ABC=90°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ADB=90°-15°=75°， 由折叠可得∠DBE=∠DBC=75°， ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=75°-15°=60°． 故答案为：60°． 5.如图，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，EF∥BC，若∠1=50°，则∠C的度数为      . 【答案】40° 【解析】∵EF∥BC，∠1=50°， ∴∠B=∠1=50°， ∵∠A=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠C=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 6.如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D=45°，∠B=30°，求∠1的度数． 【答案】解 ∵Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合， ∴BE⊥AC，CD⊥AC， ∴EB∥CD， ∴∠DCB=∠B=30°， ∵∠D=45°， ∴∠1=∠D+∠DCB=45°+30°=75°． 7.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． （1）如图①所示，当点P运动至∠α=50°时，则∠1+∠2=         ； （2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由． 【答案】解 （1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得 ∠CEP+∠CDP=360°-90°-50°=220°． 又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1=360°， ∴∠1+∠2=360°-（∠CEP+∠CDP）=360°-220°=140°． 故答案为140°． （2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP=360°， ∴∠C+∠α=360°-∠CEP-∠CDP． 又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1=360°， ∴∠1+∠2=360°-∠CEP-∠CDP． ∴∠C+∠α=∠1+∠2， 即∠1+∠2=90°+∠α． 四、勾股定理的应用 1.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 【答案】B 【解析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm）， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm）， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm， 故选：B． 2.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 【答案】C 【解析】由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 3.如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（　　） A.3m B.m C.2m D.3 【答案】D 【解析】∵CD⊥AB，∠CBD＝60°， ∴∠BCD＝30°， ∴DB= =3m， 在Rt△BCD中，CD=， 故选：D． 4.如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 【答案】13.6 【解析】∵BD⊥CE， ∴∠BDC＝90°， 由勾股定理得， CD＝＝＝12（米）， ∵四边形BAED是矩形， ∴DE＝AB＝1.6（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米）， 故答案为：13.6． 5.如图，某数学兴趣小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与工厂之间的距离BC等于 　    　km． 【答案】 【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2（km）， ∴BC＝＝＝（km）． 故学校与工厂BC之间的距离是km． 故答案为：． 6.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】解 （1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程． （2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2， ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是114m2． 7.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 【答案】解 设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得， 在Rt△ACE中，根据勾股定理得，AC2＝AE2+CE2， ∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92， ∴x＝13． 答：旗杆AB的高度为13米． 五、勾股数 1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3 B.1，，2 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 【答案】D 【解析】A.22+12≠32，不能构成勾股数，不符合题意； B.不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； C.0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； D.52+122＝132，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　） A. B.5 C.5或7 D.5或 【答案】B 【解析】∵3,4,a为勾股数， ∴当a最大时，此时a＝＝5， 当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数， 故选：B． 3.下列说法正确的是（　　） A.的平方根是±4 B.无限小数是无理数 C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数 D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数 【答案】D 【解析】A．的平方根是±2，故选项错误，不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故选项错误，不符合题意； C．数轴上的点与实数一一对应，故选项错误，不符合题意； D．若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝　   　． 【答案】5 【解析】∵52+122＝132， ∴a＝5， 故答案为：5． 5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 【答案】17 【解析】145=， 所以a＝17． 故答案为17． 6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 7.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8，15，17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【答案】解 （1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数， 故8，15，17是为勾股数． （2）∵72+242＝252， ∴该三角形是直角三角形， ∴其面积＝×7×24＝84． （3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24； 当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2． 故其周长为24或14+2． 六、勾股定理 1.如图，字母A所代表的正方形的面积为（　　） A.4 B.16 C.36 D.64 【答案】C 【解析】∵正方形PQED的面积等于64， ∴PQ2＝64， ∵正方形PRGF的面积为100， ∴PR2＝100， 又△PQR为直角三角形， 根据勾股定理得，PR2＝PQ2+QR2， ∴QR2＝PR2﹣PQ2＝100﹣64＝36， 则正方形QMNR的面积为36． 故选：C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【解析】过点H作HP⊥AB，即HP的长即可为H，P之间的最小距离， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BH平分∠ABC， ∴∠CBH＝∠ABC＝30°，CH＝PH， ∴CH＝PH＝BH＝3，即H，P之间的最小距离为3． 故选：B． 3.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8，那么斜边c的长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.14 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝6，b＝8， ∴斜边c＝＝＝10， 故选：C． 4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　     　． 【答案】16 【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC＝＝10， ∵DE是边AB的垂直平分线， ∴BD＝AD， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16． 故答案为：16． 5.如图，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则正方形A，B，C，D的面积和是 　    　cm2． 【答案】25 【解析】由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和＝52＝25（cm2） 故答案为：25． 6.如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． （1）图1中正方形ABCD的面积为 　   　，边长为 　   　； （2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ．所作的正方形的边长为2． ②请在图2中的数轴上标出表示实数2的点，保留作图痕迹． 【答案】解 （1）正方形的边长为，面积为 ． （2）①如图所示的正方形即为所作． ②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形， 以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数2． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D． 求：（1）AB的长； （2）CD的长． 【答案】解 （1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 根据勾股定理得，AB2＝AC2+BC2， 所以，AB＝10． （2）∵CD是边AB上的高， ∴AC•BC＝， 解得，CD＝4.8． 七、互逆命题与互逆定理 1.下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m＞n,那么m2＞n2；④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】①如果|x|=|y|，那么x=±y,故该选项是错误的； ②如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误的； ③如果|m|＞|n|，那么m2＞n2，故该选项是错误的； ④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，故该选项是正确的． 所以真命题有1个． 故选：A． 2.下列命题中： （1）对顶角相等； （2）相等的角是对顶角； （3）同一个角的两个邻角是对顶角； （4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角； 其中，互为逆命题的是（　　） A.（1）和（2） B.（2）和（3） C.（1）和（3） D.（1）和（4） 【答案】A 【解析】对顶角相等与相等的角是对顶角互为逆命题． 故选：A． 3.已知命题：如果a=b,那么|a|=|b|．该命题的逆命题是（　　） A.如果a=b,那么|a|=|b| B.如果|a|=|b|，那么a=b C.如果a≠b,那么|a|≠|b| D.如果|a|≠|b|，那么a≠b 【答案】B 【解析】已知本题中命题的题设是a=b,结论是|a|=|b|， 所以它的逆命题中的题设是|a|=|b|，结论是a=b, 所以本题中的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b. 故选：B． 4.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为                        ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 5.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是           命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b, 是假命题， 故答案为：假． 6.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：                             ，结论：    ．（填序号） 证明：                           ． 【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F， 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠DAC， ∵EF∥AD， ∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC， ∴∠AGF=∠F． 7.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②∠A=∠B；③CE平分∠DCA．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】解 选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD， ∵∠A=∠B， ∴∠ECA=∠ECD， ∴CE平分∠DCA； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA=∠ECD， ∴∠A=∠B； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA=∠ECD， ∵∠A=∠B，∠A+∠B=∠ACD=∠ECD+∠ECA， ∴∠A=∠ECA=∠B=∠ECD， ∴AB∥CE． 八、用HL判定三角形全等 1.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 【答案】A 【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A． 2.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 3.能使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 【答案】D 【解析】A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误． B，C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B，C选项错误． D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定． 故选D． 4.如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为            . 【答案】HL 【解析】∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，BE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL． 5.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 【答案】解 不正确，因为AC不是△ABC和△ACD的对应边， 故不能判定△ABC≌△ACD． 7.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】证明 ∵BF=EC， ∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 学科网（北京）股份有限公司 $$