2.3.3 二次根式的混合运算 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3.3 二次根式的混合运算 核心素养目标 1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的四则运算. 2.了解根号内含有字母的二次根式的化简. 3.利用二次根式的运算解决简单的数学问题；通过独立思考，能选择合理的方法解决问题. 4.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值. 探究新知 二次根式的除法法则？ 计算： 实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式计算中仍然适用. 教师提示：这一节我们继续学习二次根式的四则运算与化简求值问题. 答：目的是把分母中的无理数化为有理数. 学生讨论后，教师展示. 提问：你还有其他解法吗？.     思考：还可以继续化简吗？为什么？ 小结：如果算式中的二次根式化简成最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，结果中可保留，不必化为最简二次根式. 思考：你会先代入后化简还是先化简后代入.哪种方法更简便？ 【归纳】二次根式化简求值的方法： 解决二次根式的化简求值问题时，直接代入求值比较麻烦，可先化简已知条件，再用乘法公式变形，最后代入求值即可. 分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab，最后代入求解. 知识点一：二次根式的混合运算 1. (1)二次根式的混合运算的运算顺序与以前学习过的有理数混合运算的运算顺序一样，先________，再________，最后________，如果有括号则先算________里面的(或去掉括号)； (2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式； (3)在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． 乘方 乘除 加减 括号 自学自研 知识点二：二次根式的化简求值 3. (1)二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值； (2)二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点三：二次根式的简单应用 5. (1)根据已知量，利用二次根式求出一些长度或高度； (2)在解决这类问题时，需要运用二次根式的计算，其实质就是化简求值； (3)在已知正方形面积求边长，或根据自由落体公式求下落高度与时间关系等问题中，常常会用到二次根式． 6. 如图网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1. (1)四边形ABCD的面积为 __________； (2)四边形ABCD的周长为 ________________________． 14.5 导学导练 11. 【例3】 如图，每个小方格都是边长为1的正方形． (1)求图中格点四边形ABCD的面积； (2)判断△ACD的形状． (2)∵AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25， ∵5＋20＝25， ∴AD2＋DC2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形 12. 如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1.(结果保留根号) (1)求△ABE的周长； (2)求△ABE的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是长方形， ∴BC＝AD＝1，∠C＝∠D＝90°， ∵∠DAE＝∠CBE＝45°， ∴AB＝CD＝1＋1＝2， 解：原式＝ eq \r(20×\f(1,5)×\f(1,2))＝ eq \r(2) 2. 计算： (1) eq \r(18)－ eq \r(8)＋ eq \r(\f(1,2))； (2) eq \r(20)× eq \r(\f(1,5))÷ eq \r(2). 解：原式＝3 eq \r(2)－2 eq \r(2)＋ eq \f(1,2) eq \r(2)＝ eq \f(3,2) eq \r(2) 当a＝3，b＝2时，原式＝ eq \r(2)－2 eq \r(3) 4. (2025·佛山南海区月考)先化简，再求值：( eq \r(\f(1,a))－ eq \r(b))· eq \r(ab)，其中a＝3，b＝2. 解：原式＝ eq \r(\f(1,a))· eq \r(ab)－ eq \r(b)· eq \r(ab)＝ eq \r(\f(ab,a))－ eq \r(ab2) ＝ eq \r(b)－b eq \r(a)， eq \r(26)＋3 eq \r(5)＋ eq \r(17) 【典例导引】 7. 【例1】 计算： (1) eq \r(\f(3,4))－ eq \r(\f(4,3))； 解：原式＝ eq \f(\r(3),2)－ eq \f(2\r(3),3)＝－ eq \f(\r(3),6) 解：原式＝(－2 eq \r(3)＋ eq \f(\r(3),3))÷3 eq \r(3)＝－ eq \f(5\r(3),3)÷3 eq \r(3) ＝－ eq \f(5\r(3),3)× eq \f(1,3\r(3)) ＝－ eq \f(5,9) (2)－ eq \r(\f(1,8))＋ eq \r(8)－ eq \r(18)； (3)(－ eq \r(12)＋ eq \r(\f(1,3)))÷ eq \r(27). 解：原式＝－ eq \f(\r(2),4)＋2 eq \r(2)－3 eq \r(2)＝－ eq \f(\r(2),4)＋(2 eq \r(2)－3 eq \r(2))＝－ eq \f(\r(2),4)－ eq \r(2) ＝－ eq \f(5\r(2),4) 【变式训练】 8. 计算： (1) eq \r(\f(3,2))＋ eq \r(\f(2,3))； 解：原式＝ eq \f(\r(6),2)＋ eq \f(\r(6),3)＝ eq \f(5\r(6),6) 解：原式＝ eq \r(\f(3,2)×6)－ eq \r(\f(2,3)×6)＝3－2＝1 (2)3 eq \r(18)＋ eq \f(1,5) eq \r(50)－4 eq \r(\f(1,2))； (3)( eq \r(\f(3,2))－ eq \r(\f(2,3)))× eq \r(6). 解：原式＝9 eq \r(2)＋ eq \r(2)－2 eq \r(2)＝8 eq \r(2) 当a＝2时，原式＝4× eq \r(2×2)＝8 9. 【例2】(2025·广州期中)先化简，再求值： eq \r(18a)－4 eq \r(\f(1,8)a)＋4 eq \r(0.5a)，其中a＝2. 解：原式＝3 eq \r(2a)－ eq \r(2a)＋2 eq \r(2a)＝4 eq \r(2a)， 当a＝3，b＝2时，原式＝3－2＝1 10. (2025·佛山月考)先化简，再求值： eq \r(\f(a,b))－ eq \f(1,ab) eq \r(a3b)＋( eq \r(a)－ eq \r(b))( eq \r(a)＋ eq \r(b))，其中：a＝3，b＝2. 解：原式＝ eq \f(\r(ab),b)－ eq \f(1,ab)·a eq \r(ab)＋a－b＝ eq \f(\r(ab),b)－ eq \f(\r(ab),b)＋a－b＝a－b， 解：(1)连接AC，S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ACB＝ eq \f(1,2)×5×2＋ eq \f(1,2)×5×3＝5＋ eq \f(15,2)＝12.5 ∴△ABE的周长＝2＋ eq \r(2)＋ eq \r(2)＝2＋2 eq \r(2) (2)△ABE的面积＝ eq \f(1,2)×2×1＝1 ∴DE＝1，CE＝1，AE＝ eq \r(2)，BE＝ eq \r(2)， $$