2.3.1 二次根式的乘法和除法 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3.1 二次根式乘法和除法 核心素养目标 1.了解二次根式的概念. 2.会进行简单的二次根式的运算. 3.通过二次根式乘除法法则的探究过程，丰富学生从事数学活动的经验证，体验知识点之间的内在联系，并能运用此运算法则进行有关推理、运算和思辨能力. 探究一：认识二次根式 归纳·概括：二次根式的定义. 一般地，形如    （ ）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数. a≥0 探究新知 交流·反思: 请你说说，下面哪些是二次根式？二次根式需要满足哪些特征？ 探究二：二次根式的乘除法 问题3：计算下列各式，你能得到哪些猜想？ 6 6 (1)； （2）6； （3）; (4). 20 20 根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证. 你能用字母表示你所发现的规律吗？ 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式乘（或除）以单项式法则，易得： 解： 自学自研 C x≥9 D 导学导练 B 课堂小结 今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？   知识点一：二次根式的概念 1. (1)一般地，形如 eq \r(a)(a≥0)的式子叫作二次根式．a叫作被开方数 (2)二次根式中的被开方数a是非负数，可以根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围； (3)二次根式具有非负性． eq \r(a)(a≥0)是一个非负数． 2. (1)下列各式中不是二次根式的是( ) A． eq \r(a2＋1) B． eq \r(0) C． eq \r(－3) D． eq \r((x－y)2) (2)若 eq \r(x－9)在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． eq \r(\f(a,b)) 知识点二：二次根式的乘法法则和除法法则 3. (1)二次根式的乘法法则和除法法则： eq \r(a)· eq \r(b)＝__________(a≥0，b≥0)， eq \f(\r(a),\r(b))＝__________(a≥0，b＞0)； (2)在使用性质 eq \r(a)· eq \r(b)＝ eq \r(a·b)(a≥0，b≥0)时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a<0，b<0，使用该性质会使二次根式无意义，如( eq \r(－4))×( eq \r(－9))≠ eq \r(－4×－9)；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． eq \r(ab) eq \a\vs4\al(解：原式＝\r(3×12),＝\r(36),＝6) eq \a\vs4\al(解：原式＝\r(72÷2),＝\r(36),＝6) eq \a\vs4\al(解：原式＝\r(18÷2),＝\r(9),＝3) 4. 计算： (1) eq \r(2)× eq \r(3)； (2) eq \r(3)× eq \r(12)； (3) eq \r(72)÷ eq \r(2)； (4) eq \r(18)÷ eq \r(2). eq \a\vs4\al(解：原式＝\r(6),,,) 【典例导引】 5. 【例1】(2025·深圳福田区月考)下列式子： eq \r((－3)2)， eq \r(－5)， eq \r(8)， eq \r(a2－1)， eq \r(a2＋1)， eq \r(4－4a＋a2)， eq \r(3,5)中，一定是二次根式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 6. (2025·广州天河区月考)下列说法中，正确的是( ) A．带根号的式子一定是二次根式 B． eq \r(x2＋1)一定是二次根式 C． eq \r(x＋y)一定是二次根式 D．二次根式的值必是无理数 解：原式＝4 eq \r(10÷5)＝4 eq \r(2) 解：原式＝ eq \r(24×6)＋ eq \r(\f(1,2)×6)＝12＋ eq \r(3) 解：原式＝ eq \r(18×2)＝6 7. 【例2】计算： (1) eq \r(18)× eq \r(2)； (2)4 eq \r(10)÷ eq \r(5)； (3)( eq \r(24)＋ eq \r(\f(1,2)))× eq \r(6)； (4)(3＋ eq \r(5))(3－ eq \r(5)). 解：原式＝ eq \r(18×2)＝6 解：原式＝2＋ eq \r(3)－2 eq \r(3)－( eq \r(3))2＝－1－ eq \r(3) 解：原式＝2＋1＝3 解：原式＝12－4 eq \r(3)＋1＝13－4 eq \r(3) 8. 计算： (1) eq \r(8)× eq \r(\f(9,2))； (2)(1－ eq \r(3))(2＋ eq \r(3))； (3) eq \f(\r(12)＋\r(3),\r(3))； (4)(2 eq \r(3)－1)2. 解：原式＝ eq \r(8×\f(9,2))＝ eq \r(36)＝6 $$