2.2.4 估算 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.2.4 估算 [概括新知] 夹逼法的一般思路:对于带根号的无理数的近似值的求解, 可通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼 近)逐渐夹逼,首先确定整数部分,再确定十分位,百分位等小 数部分. 应用一　利用无理数的估算解决实际问题 例1 (教材典题)生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.如图2-4-1,现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗? 图2-4-1 解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的,根据勾股定理,得x2+(×6)2=62,即x2=32,x=. 因为5.62=31.36<32, 所以>5.6. 因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能够达到 5.6 m高的墙头. 变式　例1中梯子的顶端能达到5.7 m高的墙头吗? 图2-4-1 解:因为5.72=32.49>32, 所以它的顶端不能达到5.7 m高的墙头. 探究：（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.0001）：①；②. 开立方运算的按键顺序为：SHIFT， ，被开方数，=． 点拨：开平方运算的按键顺序为： ，被开方数，=． （2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律． 学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流． 【归纳】 任意一个正数，利用计算器对它不断进行开平方运算，其计算的结果越来越接近1. (3)请你比较与的大小;     解:因为-1>-1=2-1=1, 所以. 解:因为2.52=6.25,()2=6,6.25>6, 所以2.5>. 变式：比较与2.5的大小. 比较两个正无理数大小的常用方法 (1)估算法:先通过分析,估算出无理数的大致取值范围,再具 体比较. (2)乘方法:把要比较的两个数同时乘方,去掉其中的根号,比 较乘方后的数的大小.乘方后的数越大,原数就越大. 记 方法 [本课时认知逻辑] [自学自研] 4.45 4.50 4.5 解：∵729＜800＜1 000， ∵9.23＝788.688， ∴9.33＝804.357， 知识点二：比较实数的大小 3. (1)通过估算无理数的近似值，比较大小； (2)利用计算器比较数的大小，先计算各数的近似值，再比较大小． > > ＜ ＜ 被开方数 被开方数 解：29.44 解：0.68 解：－0.68 解：±13.39 [导学导练] ＜ > ＜ ＜ ＜ > ＜ > ∵8.52＝72.25， ∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头 14. 一个人每天要饮用大约0.001 5 立方米液体，一生他所饮用的总量约60立方米，如果用一圆柱形容器(底面直径等于高)来装这些液体，这个容器大约有多高？(π值取3，结果精确到1米). 解：设这个容器大约有x米高， 根据题意得π×(x÷2)2×x＝60， ∴这个容器大约有4米高 知识点一：估算一个无理数的近似值 1. (1)对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用“夹逼法”，两边无限逼近，逐级夹逼．首先确定其整数部分的取值范围，再确定十分位，百分位等小数部分； (2)比如 eq \r(1)< eq \r(3)< eq \r(4)，即1< eq \r(3)<2，又由1.72＝2.89，1.82＝3.24，而2.89<3<3.24，所以1.7<3<1.8.即 eq \r(3)的整数位是1，十分位是7，依次类推确定百分位、千分位等． 2. (1)估算 eq \r(20)的大小．(结果精确到0.1). 解：∵4.452＝19.802 5，4.502＝20.25， ∴__________＜ eq \r(20)＜__________， ∴ eq \r(20)≈__________． (2) 估算 eq \r(3,800)的大小．(结果精确到0.1) ∴9＜ eq \r(3,800)＜10， ∴ eq \r(3,800)≈9.3 4. (1)通过估算，比较下列各组数的大小： ① eq \r(37)________6； ② eq \f(\r(10)－1,2)________1； (2)通过估算，比较下列各组数的大小： ①－ eq \r(10)________－3； ② eq \f(\r(7)－2,2)________ eq \f(1,2). eq \x(EXE) eq \x(SHIFT) eq \x(\r(　)) eq \x(EXE) 知识点三：用计算器开方 5. (1)开方运算要用到键__________和键__________； (2)对于开平方运算，按键顺序为：_________，___________，_________； (3)对于开立方运算，按键顺序为：______________，___________， _____________，____________． eq \x(\r(　)) eq \x(\r(3,　)) eq \x(\r(　)) 6. 利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)： (1) eq \r(867)； (2) eq \r(0.462 54)； (3)－ eq \r(3,\f(8,25))； (4)± eq \r(3,2 402). 【典例导引】 7. 【例1】估算下列各数的大小： (1) eq \r(37)(结果精确到0.1)； (2) eq \r(3,600)(结果精确到1). 解： eq \r(37)≈6.1 解： eq \r(3,600)≈8 【变式训练】 8. 估算下列各数的大小： (1) eq \r(3,625)(结果精确到1)； (2) eq \r(40.9)(结果精确到0.1). 解： eq \r(3,625)≈9 解： eq \r(40.9)≈6.4 9. 【例2】通过估算，比较大小． (1) eq \r(24)________5.1； (2) eq \r(3,260)________6. 10. 通过估算，比较大小． (1) eq \r(13)－1________3； (2) eq \f(\r(5)＋1,2)________2. 11. 【例3】利用计算器比较大小： (1) eq \r(3,123)________ eq \r(27)； (2) eq \f(π,3)________ eq \f(\r(11)－1,3). 12. 利用计算器比较大小： (1) eq \r(14)________ eq \r(3,56)； (2) eq \r(3,100)________ eq \r(21). 13. 【例4】生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 eq \f(1,3)时，则梯子比较稳定，现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？ 解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 eq \f(1,3)，且梯子的长度为9米， ∴梯子底端离墙的距离约为9× eq \f(1,3)＝3(米)， ∴梯子的顶端距离地面的高度为 eq \r(92－32)＝ eq \r(72)， ∴ eq \r(72)＜8.5， 解得x＝ eq \r(3,80)≈4， $$