2.2.2 平方根 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.2.2 平方根 探究　平方根的定义及性质 [启发思考] (1)9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有平方也是9的数吗? 解:有,-3的平方也是9. (2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数有几个? (3)平方等于0的数有几个?有没有平方等于-16的数? 解:(2)平方等于的数有两个,分别是±;平方等于0.64的数有两个,分别是±0.8. (3)平方等于0的数有一个,它是0;没有平方等于-16的数. [概括新知] 平方根的定义:一般地,如果一个数x的　　　等于a,即           =a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).  平方 x2 细 琢磨 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数.平 方与开平方互为逆运算,可以用平方运算来验证开平方的结 果是否正确. (1)若正数m的平方根是a和b,则a+b=0; (2)若a,b是正数m的平方根,则a=b或a+b=0. 巧 转化 [本课时认知逻辑] 数学问题 实际问题 平方根 概念与表示 性质与计算 应用解决实际问题 抽象 建模 解决 知识点一：平方根的概念 1. (1)一般地，如果一个数x的平方等于a，即________，那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)； (2)一个正数a有______个平方根(记作______)；0的平方根是______；________没有平方根． x2＝a 两 0 负数 2. (1)因为42＝_______，(－4)2＝______，所以4和－4都是_______的平方根； (2)4的平方根是________； ______的平方根是0； －18________平方根． 16 16 16 ±2 0 没有 知识点二：求一个非负数的平方根 3. (1)求一个数a的平方根的运算，叫作__________，a叫作____________； (2)开平方与平方是互逆运算． 开平方 被开方数 解：(1)∵(±11)2＝121， ∴121的平方根是±11， (2)∵(±0.08)2＝0.006 4， ∴0.006 4的平方根是±0.08， (4)0的平方根是0 ±11 11 ±0.7 0.7 (2)(2025·深圳罗湖区月考)下列说法错误的是( ) A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．(－3)2的平方根是－3 D (2)±140　 (3)±1.7 (4)±0.001 解：(1)±0.2 (4)±10-4 解：4 解：3 解：6 解：－3 解：0.05 11. 【例3】求下列各式中x的值： (1)4x2＝1;    (2)x2－16＝0. 解：(1)∵4x2＝1， (2)x2－16＝0， ∴x2＝16， ∴x＝±4 解：(1)∵3x2＝6， ∴x2＝2， 15. 【例5】若2m－4与3m－1是同一个数的两个平方根，求m的值． 解：由题意可得2m－4＋3m－1＝0，解得m＝116. 已知a－1与5－2a是m的平方根，求a和m的值. 解：①当a－1与5－2a是同一个平方根时，a－1＝5－2a， 解得a＝2， 此时，m＝(2－1)2＝1； ②当a－1与5－2a是两个平方根时，a－1＋5－2a＝0， 解得a＝4， 此时m＝(4－1)2＝9. 综上得a＝2，m＝1或a＝4，m＝9 ± eq \r(a) 4. 求下列各数的平方根： (1)121；　(2)0.006 4；　(3)6 eq \f(1,4)；　(4)0. 即± eq \r(121)＝±11 即± eq \r(0.006 4)＝±0.08 (3)6 eq \f(1,4)＝ eq \f(25,4)， ∵(± eq \f(5,2))2＝ eq \f(25,4)， ∴ eq \f(25,4)的平方根是± eq \f(5,2)， 即± eq \r(6\f(1,4))＝± eq \f(5,2) 知识点三：算术平方根与平方根的区别 5. 区别 平方根 算术平方根 定义不同 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根 非负数a的非负平方根叫作a的算术平方根 个数不同 正数有两个平方根 正数的算术平方根只有一个 表示方式不同 ± eq \r(a) eq \r(a) 取值范围不同 正数的平方根一正一负，互为相反数 正数的算术平方根只有一个 eq \r(35) ± eq \f(\r(7),5) eq \f(\r(7),5) 6. (1)填表： 原数 121 0.49 35 eq \f(7,25) 平方根 _________ _________ _________ _________ 算术平方根 _________ _________ _________ _________ ± eq \r(35) 【典例导引】 7. 【例1】求下列各数的平方根： (1) eq \f(169,900)；(2)19 600；(3)(－1.7)2；(4)10-6. 解：(1)± eq \f(13,30)　 【变式训练】 8. 求下列各数的平方根： (1)0.04；(2) eq \f(9,256)；(3)7；(4)10-8. (2)± eq \f(3,16)　 (3)± eq \r(7) 9. 【例2】求下列各式的值． (1) eq \r(16)； (2) eq \r((－3)2)； (3)－ eq \r((－\f(1,2))2)； (4) eq \r(3-2). 解：－ eq \f(1,2) 解： eq \f(1,3) 10. 计算： (1) eq \r(36)； (2) eq \r(\f(9,16))； (3)－ eq \r((－3)2)； (4) eq \r((－0.05)2). 解： eq \f(3,4) ∴x2＝ eq \f(1,4)， ∴x＝± eq \f(1,2) 　 ∴x＝ eq \f(5,2)或x＝－ eq \f(1,2) ∴x＝± eq \r(2) (2)∵(x－1)2＝ eq \f(9,4)， 12. 求下列各式中x的值： (1)3x2＝6; (2)(x－1)2＝ eq \f(9,4). ∴x－1＝± eq \f(3,2)， 13. 【例4】当a＝5，b＝12，求 eq \r(a2＋b2)的值． 解：当a＝5，b＝12时， eq \r(a2＋b2)＝ eq \r(52＋122)＝13 14. 当c＝25，b＝24时，求 eq \r((c＋b)(c－b))的值． 解：当c＝25，b＝24时， eq \r((c＋b)(c－b))＝ eq \r((25＋24)(25－24))＝ eq \r(49)＝7 $$