精品解析：安徽省合肥市合肥兴国实验学校2024～2025学年 八年级下学期期末数学试卷

2024~2025学年度八年级（下）期末数学试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 4. 用配方法解一元二次方程，配方的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（ ） A. 4 B. 4.7 C. 7 D. 4.6或4.3 6. 如图，在中，，是高，若，则的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 7. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 8. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形中，，，，垂足分别为点、．为中点，为中点．连接，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11. 若，则_________． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 如图，在中，D、E分别为中点，点F在上，且，若，则_____________． 14. 如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 计算： 16. 解方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式：______； （2）写出你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度，为此某市教育部门对某学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣：B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查中，共调查了______名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）求出扇形图中最小的扇形的圆心角的度数． （4）如果该校共有2000名学生，请你估计对学习很感兴趣和对学习较感兴趣的学生一共有多少名？ 20. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为40元，销售价为60元时，每天可售出20盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价1元，则平均可多售出3盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒最多降价多少元时，平均每天可盈利500元． （3）若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 六、（本题满分12分) 21. 中，． （1）求证：． （2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形． （3）以为边向下侧作一个等边，连接，那么长是多少？ 七、（本题满分12分) 22. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 八、（本题满分14分) 23. 综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度八年级（下）期末数学试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，由题意得，据此即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：D． 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程，配方的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 结合完全平方公式进行配方即可得解． 【详解】解：根据完全平方公式可得， 即． 故选：． 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班51名同学视力检查数据如表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这51名同学视力检查数据的众数是（ ） A. 4 B. 4.7 C. 7 D. 4.6或4.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可． 【详解】解：这51名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7． 故选：B． 6. 如图，在中，，是高，若，则的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 8. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和；由正多边形的定义得，由多边形的内角和公式，即可求解；理解正多边形的性质，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数：， 正多边形的内角和为： ， 故选：D． 9. 如图，在等边三角形中，，，，垂足分别为点、．为中点，为中点．连接，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，解题的关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．取的中点，连接、，根据三角形中位线定理证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：取的中点，连接、， 为等边三角形，， ，， ，，， ， 同理：， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得：，， ，， 为等边三角形， ， 故选：B． 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11. 若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得到，然后根据去绝对值即可． 【详解】解：二次根式的性质得到， 因为， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据题意易得，然后根据整体思想代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为2025． 13. 如图，在中，D、E分别为的中点，点F在上，且，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等．根据题意可得，利用三角形的中位线定理可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵D、E分别为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图所示，在四边形中，，，于E，，则度数等于________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质；根据化简绝对值，二次根式的性质化简，负整数幂，以及有理数的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．方程变形为，得到或，即可求出方程的解． 【详解】解： 则， ∴ 则 ∴或 解得 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【小问1详解】 根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； 【小问2详解】 根据规律猜想第个等式为：， 证明： ， 故猜想成立，即． 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 18. 已知关于一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，由得到，从而得到或，分情况进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， 无论取何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：是方程的两根， ， ， ， 或， 当时，， 解得：， 当时，即， ， 解得：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；一元二次方程的根与系数的关系为：，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度，为此某市教育部门对某学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣：B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查中，共调查了______名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）求出扇形图中最小的扇形的圆心角的度数． （4）如果该校共有2000名学生，请你估计对学习很感兴趣和对学习较感兴趣的学生一共有多少名？ 【答案】（1）200 （2）详见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用A级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数； （2）根据（1）所求求出C级的人数进而补全统计图即可； （3）人数最少的等级即为扇形统计图所对应的圆心角度数最小的扇形，用360度乘以对应的人数占比即可得到答案． （4）用2000乘以对学习很感兴趣和对学习较感兴趣的学生人数所占的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴此次调查中，共调查了200名学生， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：由（1）得C级的学生人数为名， 补全统计图图形如下： 【小问3详解】 解：图②中最小的扇形的圆心角的度数为． 【小问4详解】 解：（人）． 20. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为40元，销售价为60元时，每天可售出20盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价1元，则平均可多售出3盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒最多降价多少元时，平均每天可盈利500元． （3）若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）当该种粽子每盒最多降价10元时，平均每天可盈利500元 （3）这个愿望不能实现，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元二次方程的应用以及一元二次方程根的判别式的应用． （1）根据题意，每盒降价x元，则每天可销售盒，每盒盈利元； （2）根据利润等于每盒的盈利乘以盒数列出关于x的一元二次方程，求解后再根据最多降价即可得出答案． （3）根据利润等于每盒盈利乘以盒数列出关于x的一元二次方程，利用根的判别式即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，每盒降价x元，则每天可销售盒， 每盒盈利元； 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去） 答∶该种粽子每盒最多降价10元时，平均每天可盈利500元； 【小问3详解】 不能，理由如下∶ 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴该方程无解， 故不能使平均每天盈利800元．则个愿望不能实现． 六、（本题满分12分) 21. 在中，． （1）求证：． （2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形． （3）以为边向下侧作一个等边，连接，那么的长是多少？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长，过点C作延长线于点E，设，在和中，利用勾股定理得，解方程问题即可求解； （2）以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，则即为所求的三角形； （3）以为边向下作一个等边，延长到H，使得，连接，根据等边三角形性质先证明，从而为等边三角形，问题即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，延长，过点C作延长线于点E， 设， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， 在中，， 如图，取的中点D，连接， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，则， ， 为等边三角形， ， 又， 为三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形． 故即为所求； 【小问3详解】 解：以为边向下作一个等边，如图所示，延长到H，使得，连接， 又为等边三角形， ，， 由（1）可知， ，， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了尺规作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解决此类题目的关键是清楚作等长线段的尺规作图、作垂线构造直角三角以及截长补短． 七、（本题满分12分) 22. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 八、（本题满分14分) 23. 综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 【答案】探究一：当时,四边形为菱形，理由见解析；探究二：的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，理由见解析，长为 【解析】 【分析】探究一：当时,四边形为菱形，利用正方形和轴对称的性质得出，再由勾股定理和直角三角形的性质得出，然后利用菱形的判定即可得解； 探究一：①延长交边于点，由得出，由翻折得出，然后即可得出，进而即可得解；②由得出，设，然后由勾股定理得出，进而即可得解． 【详解】探究一： 当时,四边形为菱形， 理由如下： ， ， ∵翻折， ， ， ， ， ∴， ∴ ， ， ∴四边形为菱形； 探究二： ①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变， 理由如下： 延长交边于点， ， ∴在和中， ， ， ∵翻折， ∴， ∴， 的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变. ②正方形纸片的边长为， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 解得， ∴长为． 【点晴】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理及动点问题的探究与解答等知识与方法，解题的关键是把折叠问题抽象为轴对称问题，以便于用轴对称的性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$