素养提升小题专项训练9：椭圆——2026届高三数学一轮复习

素养提升小题专项训练9：椭圆（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一.单选题 1.椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不妨设，， 则直线的斜率 将与联立，得，即， 由韦达定理得，所以，又，所以， 故选：D. 2.已知A，B分别为椭圆C：的左､右顶点，P为椭圆C上一动点（异于A，B两点），PA，PB与直线交于M，N两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，设，则， 所以， 易知直线斜率存在，设直线的方程为，直线的方程为，令得，不妨设 ，则， 设和外接圆的半径分别为， 由正弦定理得，，又， ， 当，即时等号成立.故选：A 3．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解析】由题意直线和是椭圆的两条相互垂直的切线，因此它们的交点在蒙日圆上，从而，即蒙日圆方程为， 设从点出发的光线在轴上反向点为，如图，反射光线是圆的切线（在蒙日圆上此时为切点）时，路程为最大， 关于轴的对称点为，由对称性知在直线上，因此是圆的切线，， ． 故选：B．   4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为的角平分线交线段于点， 所以，所以由正弦定理得，，又因为，，所以，即，不妨设，如图： 则，解得， 所以， 由题意，，所以，即.故选：A 5.已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上. 如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上，则， 由椭圆的定义知，则， ， ， . 又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3， ，即，故椭圆的离心率 2、 多选题 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】对于A，，设点P,记 则 因为 , 所以 解得 , 所以 的面积为 ，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以直线为，所以， 又因为，圆心到直线距离， 所以直线被圆截得的弦长为， 故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误； 对于D：设，，因为，所以，所以点的横坐标为，D选项正确. 故选：ABD. 7.已知四边形的四个顶点都在椭圆上，对角线过原点，且，则（    ） A．是定值 B．是定值 C．四边形的面积是定值 D．四边形的周长是定值 【答案】AC 【解析】由于过原点，故四边形为平行四边形. 设，代入，得， 设则， 因为，得， 即，化简可得， 代入可得解得， ，， 为定值，A正确， 因为，又，， ，所以为定值，C正确， ， 由于不为常数，因此不为常数，因此不为定值，B错误， 对于D，由于为定值，若四边形的周长是定值，则为定值，此时可得为固定不改变的，显然不符合题意.故D错误， 故选：AC 8.加斯帕尔蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆的左、右焦点分别为，点均在的蒙日圆上，分别与相切于，则下列说法正确的是（    ） A．的蒙日圆方程是 B．设，则的取值范围为 C．长方形的四条边均与椭圆相切，长方形的面积的最大值为14 D．若直线过原点，且与的一个交点为，则 【答案】BCD 【解析】对于A，分别过椭圆的顶点，作椭圆的切线，则两切线的交点在椭圆的蒙日圆上，故该蒙日圆的半径，即椭圆的蒙日圆的方程为，故A错误； 对于B，由椭圆的定义得， 当且仅当点在的延长线上时取等号， ， 当且仅当点在的延长线上时取等号，所以的取值范围为，故B正确； 对于C，设长方形的长为，宽为，则，所以长方体的面积等于，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，，则，所以， 由得①， 由得②， 则①②得，解得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则______. 【答案】 【解析】因为，所以， 因为的周长为4，所以的周长， 所以，所以椭圆方程为，，所以， 直线垂直轴，设，代入，求得， 所以，， 因为外角平分线垂线与直线交于点，所以，可得，则，所以. 故答案为：. 10.设椭圆的焦点为,P是椭圆上的一点，且的外接圆和内切圆的半径分别为时，椭圆的离心率为 【答案】 【解析】 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆C于点N，且，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【解析】依题意得，所以直线的方程为， 代入中，解得， 因为，所以，所以， 所以直线BN的方程为，代入中，解得， 因为M，，N三点共线，所以，即， 化简得，又，所以，， 所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 12.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为 【答案】 【解析】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离，点到直线的距离，于是，化简得，即，又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点，所以.故选：C. 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题专项训练9：椭圆（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一.单选题 1. 椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2.已知A，B分别为椭圆C：的左､右顶点，P为椭圆C上一动点（异于A，B两点），PA，PB与直线交于M，N两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ） A. B. C. D. 5.已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2、 多选题 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 7.已知四边形的四个顶点都在椭圆上，对角线过原点，且，则（    ） A．是定值 B．是定值 C．四边形的面积是定值 D．四边形的周长是定值 8.加斯帕尔蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆的左、右焦点分别为，点均在的蒙日圆上，分别与相切于，则下列说法正确的是（    ） A．的蒙日圆方程是 B．设，则的取值范围为 C．长方形的四条边均与椭圆相切，长方形的面积的最大值为14 D．若直线过原点，且与的一个交点为，则 三、填空题 9.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则______. 10.设椭圆的焦点为,P是椭圆上的一点，且的外接圆和内切圆的半径分别为时，椭圆的离心率为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆C于点N，且，则椭圆C的方程为__________. 12.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$