21.2.3 第2课时一元二次方程的解法综合　课件　2025-2026学年人教版数学九年级上册　

21.2.3　第二课时 一元二次方程的解法综合 栏目导航 要点概览 探究新知 1.解一元二次方程的基本思路 解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化为一次方程,即降次. 2.一元二次方程的基本解法 要点概览 方法 适合方程类型 注意事项 直接开 平方法 (mx+n)2=p(m≠0) p≥0时有解, p<0时无解 配方法 x2+px+q=0 二次项系数不为1时,先把系数化为1,再进行配方 公式法 ax2+bx+c=0(a≠0) ①b2-4ac≥0时,方程有实数解; b2-4ac<0时,方程无实数解; ②先化为一般形式再运用公式 因式分 解法 方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的积 方程的一边必须是0,另一边可因式分解 探究新知 探究点一　选择合适的方法解一元二次方程 【例1】 用适当的方法解下列方程: (1)2(x-1)2-18=0; 解:(1)整理,得(x-1)2=9. 开平方,得x-1=±3, 即x-1=3,或x-1=-3, ∴x1=4,x2=-2. 5 (2)x2+4x-1=0; 6 (3)9(x+1)2=(2x-5)2; 7 (4)(x-1)(x+2)=4. 8 一元二次方程解法的选择 (1)若给定的方程为x2=p或(mx+n)2=p型时,选用直接开平方法; (2)若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解时,选用因式分解法; (3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解时,一般选用公式法; (4)对于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数(即形如“x2+2kx+ m=0”)的一元二次方程,采用配方法比较简单. 9 【新知巩固】 1.解方程2(x-1)2=3(1-x)最合适的方法是( ) A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.无法确定 2.不适合用配方法求解的一元二次方程是( ) A.x2-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2-2x-4=0 D.2x2-12x=5 C A 3.请选择合适的方法填在横线上. (1)解方程x2+3x=0,用　 　法较合理;  (2)解方程7x2-12x-2=0,用　 　法较合理;  (3)解方程(x-4)2-12=0,用　 　法较合理.  因式分解 公式 直接开平方 4.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)2(x-3)2-18=0; 解:(1)移项,得2(x-3)2=18. 二次项系数化为1,得(x-3)2=9. 两边开平方,得x-3=3,或x-3=-3, ∴x1=6,x2=0. (2)x(2x-3)=4x-6; (3)x2-2x-399=0; 解:(3)移项得x2-2x=399. 配方,得x2-2x+1=400, 即(x-1)2=400. 由此得x-1=±20, 解得x1=21,x2=-19. (4)2x2-7x+6=0. 探究点二　一元二次方程解法的简单应用 解:设x2-x=y, ∴(x2-x)2-4(x2-x)-12=0化为 y2-4y-12=0. 解得y1=6,y2=-2. ∴当y1=6时,x2-x=6,方程变形为(x-3)(x+2)=0,解得x1=3,x2=-2. 当y2=-2时,x2-x=-2,方程变形为x2-x+2=0, ∵Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×2=-7<0, ∴x2-x+2=0无实数解. ∴(x2-x)2-4(x2-x)-12=0的解为 x1=3,x2=-2. 【新知巩固】 A 2 解:(1)9或-1 (2)设m2=2x+y(m≥0), 则原方程可化为m2-9=8m. 整理,得(m-9)(m+1)=0. ∴m=9或m=-1(舍去).即代数式2x+y的值为81. (3)如果实数x满足(x2+2x)2+4(x2+2x)-5=0,求代数式x3+3x2+x的值. 解:(3)设x2+2x=n, 则原方程可化为n2+4n-5=0, 整理,得(n-1)(n+5)=0, 解得n=1或n=-5. 当n=-5时,x2+2x=-5无解(舍去), 即x2+2x=1, ∴x3+3x2+x=x(x2+2x+1)+x2=2x+x2=1. 谢谢观赏！ 21 解:(2)移项,得x2+4x=1. 配方,得x2+4x+22=1+22,即(x+2)2=5. 由此可得x+2=±, ∴x1=-2+,x2=-2-. 解:(3)整理,得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0. 因式分解,得[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0. 由此可得3(x+1)+(2x-5)=0,或3(x+1)-(2x-5)=0,即5x-2=0,或x+8=0, ∴x1=,x2=-8. 解:(4)整理,得x2+x-6=0. ∵a=1,b=1,c=-6, ∴Δ=b2-4ac=1-4×1×(-6)=25>0. ∴x===. ∴x1=-3,x2=2. 解:(2)方程化为x(2x-3)=2(2x-3). 移项,得x(2x-3)-2(2x-3)=0. 因式分解,得(x-2)(2x-3)=0. 于是得x-2=0,或2x-3=0, ∴x1=2,x2=. 解:(4)a=2,b=-7,c=6. Δ=b2-4ac=49-48=1>0. ∴方程有两个不等的实数根 x==. ∴x1=2,x2=. 【例2】 材料:为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2-y-6=0, 解得y1=-2,y2=3. 当y1=-2时,x2=-2无意义,舍去;当y2=3时,x2=3,解得x=±. ∴原方程的解为x1=-,x2=. 问题:利用本题的解题方法,解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0. 5.(2023青海模拟)已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2-5x+ 6=0的两个根,则此直角三角形的斜边长是( ) A. B. C.13 D.5 6.(2023成都期末)若实数x,y满足(x2+y2+1)(x2+y2-2)=0,则x2+y2的值是　 　. 7.对于实数a,b,定义运算“⊗”如下:a⊗b=(a+b)2+(a-b)2.若(m+2)⊗ (m-3)=30,则m=　 　. 8.(1)如果实数x,y满足(2x+y)2-8(2x+y)-9=0,那么2x+y的值为　　; (2)如果实数x,y满足2x+y-9=8,求代数式2x+y的值; $$