3.3 垂径定理 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

3.3 垂径定理 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，是的弦，半径于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，弦垂直于的直径，垂足为点，且，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的弦，半径，垂足为若，，则的直径为(    ) A. B. C. D. 4.如图，为的外接圆，半径，垂足为点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，的直径为，弦的长度是，，垂足为，则的长度为(    ) A. B. C. D. 6.往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为(    ) A. B. C. D. 7.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为(    ) A. B. C. D. 8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里不知道其宽度的大小，于是用锯子沿横截面锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺一尺等于十寸，问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点，寸，寸，求直径的长”那么直径的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为            ． 10.直径为的中，弦，则弦的弦心距为______． 11.如图，是的直径，点在上，于点已知，，则的半径为          ． 12.如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为          ． 13.如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，则水深为______． 14.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小圆孔的宽口的长度为          ． 15.如图，是的直径，弦于点，，，则          ． 16.如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，在格点上． 画出过，，三点的圆的圆心； 求的长． 18.本小题分 如图，在直径为的中，，垂足为，，求弦的长． 19.本小题分 明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”见图，一种水利灌溉工具的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是多少？ 20.本小题分 如图，隧道的截面由半径为米的半圆构成． 如图，一辆货车宽，高，它能通过该隧道吗？ 如图，如果该隧道内设双行道，一辆宽为，高为的货车能驶入这个隧道吗？ 如图，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则一辆宽为，高为的货车______通过隧道填“能”或“不能”． 21.本小题分 九年级某数学兴趣小组通过研究发现，利用圆可以作出正方形他们的作法如下：在圆中作两条相等且互相垂直的弦、垂足为，再过圆心作两条弦的垂线，垂足分别为、，则四边形为正方形． 下面给出了不完整的“已知”和“求证”，请根据上面的作法补充完整，并写出证明过程． 已知：如图、是中的两条弦，，垂足为，且______． 求证：______． 22.本小题分 如图，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的营造法式是中国古代最完整的建筑技术典籍之一如图是古人根据营造法式中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心， 是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为作法如下： 作线段的垂直平分线，垂足为； 在射线上截取； 连接，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出月洞门的设计图保留作图痕迹，不写作法． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：半径于点， ， ， ． 故选：． 由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长． 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到，由勾股定理求出的长． 2.【答案】  【解析】解：连接， ，， ， ， ， 设圆的半径为， 在中，，， 则，由此得， ． 故选：． 先根据垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，设圆的半径为，在中，利用勾股定理即可得出结论． 本题考查得出垂径定理、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：连接， 半径， ， 设的半径为，则，， 在中， 根据勾股定理， 即， 解得， 的直径为． 故选：． 根据垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出半径的长，进而可得出结论． 本题主要考查了垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 4.【答案】  【解析】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ， ， ， 故选：． 连接，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题． 根据的半径为，弦的长度是，，可以求得的长，从而可以求得的长． 【解答】 解：由题意可得， ，，， ， ， 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理． 连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【解答】 解：连接，过点作于点，交于点， ， ， ， 在中，， ， 即水的最大深度为． 7.【答案】  【解析】解：垂直平分， 圆的圆心在上，如图，连结，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即圆形工件的半径为． 故选：． 先利用“弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”可判断圆的圆心在上，如图，连结，设的半径为，则，然后在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂直平分线的性质和勾股定理． 8.【答案】  【解析】解：连接，如图所示， 设直径的长为寸，则半径寸， 为的直径，弦于，寸， 寸， 连接，则寸， 根据勾股定理得，， ， 解得， 寸． 故选：． 根据垂径定理和勾股定理求解． 本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键． 9.【答案】米  【解析】解：且经过点， 米， 米， 米， 在中根据勾股定理可得， ， 解得：． 故答案为：米． 根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案． 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，故作于， ， 的直径是， ， ， 弦的弦心距为． 故答案为：． 故作于，由垂径定理得到，由勾股定理即可求出的长． 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到，由勾股定理求出的长． 11.【答案】  【解析】连接设的半径为，则，在中，，即，解得的半径为． 12.【答案】  【解析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：如图所示，连接， ， ， ， ， 水深为． 故答案为：． 连接，利用垂径定理得到，再利用勾股定理求出的长． 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是由垂径定理得到的长，由勾股定理求出的长． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，，过点作于点，先根据钢珠的直径是，钢珠顶端离零件表面的距离为求出及的长，再根据勾股定理即可求出的长，由垂径定理即可得出结论． 【解答】 解：连接，，过点作于点， 钢珠的直径是，钢珠顶端离零件表面的距离为， ，， ， 在中，， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 由勾股定理得，．  【解析】连接，，分别作线段，的垂直平分线，交点即为过，，三点的圆的圆心． 利用勾股定理计算即可． 本题考查作图应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键． 18.【答案】解：，直径是，． ，．   【解析】略 19.【答案】解：连接、，交于， 由题意得：米，， 米，， 米， 米， 答：点到弦所在直线的距离是米．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】能；   能；   不能．  【解析】解：如图所示， 设于点，， ， ， ， 这辆车能通过该隧道； 设于点，，连接，如图所示， ， ， ， 这辆车能通过该隧道； 设于点，，连接，如图所示， ， ， ， 这辆车不能通过该隧道， 故答案为：不能． 设于点，根据勾股定理得出长，再进行比较即可； 设于点，连接，根据勾股定理得出长，再进行比较即可； 设于点，连接，根据勾股定理得出长，再进行比较即可； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 21.【答案】，于点，于点  四边形为正方形  【解析】已知：如图、是中的两条弦，，垂足为，且，于点，于点， 求证：四边形为正方形． 证明：连接、，如图， ，，， ，，， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形为正方形． 故答案为：，于点，于点；四边形为正方形． 根据作法写出已知条件和结论，然后先利用垂直的定义得到四边形为矩形，再根据垂径定理得到，于是可证明≌，所以，从而可判断四边形为正方形． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的判定与性质和垂径定理． 22.【答案】见解答．  【解析】解：如图所示． 根据作图步骤作图即可． 本题考查作图应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、垂径定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第6页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$