第05讲 垂径定理、圆心角、圆周角（6大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

第05讲 垂径定理、圆心角、圆周角（6大考点） ( 考点 考向 ) 一．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 二．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 三．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 四．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 五．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 六．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． ( 考点 精讲 ) 一．垂径定理（共4小题） 1．（2021秋•上城区期中）如图，⊙O的半径为5，C是弦AB的中点，OC＝3，则AB的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先根据垂径定理得出AB＝2AC，OC⊥AB，再根据勾股定理求出AC的长，故可得出结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的弦，点C是AB的中点， ∴AB＝2AC， ∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中， ∵OB＝5，OC＝3， ∴BC＝＝＝4， ∴AB＝2AC＝2×4＝8． 故选：B． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键． 2．（2022•西湖区校级一模）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为　8或2　． 【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝10求出半径OA的长，再根据垂径定理求出AM的长，然后根据勾股定理求出OM的长，分两种情况求出DM即可． 【解答】解：①连接OA，如图所示： ∵⊙O的直径CD＝10， ∴OA＝5， ∵弦AB＝8，AB⊥CD， ∴AM＝AB＝×8＝4， 在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3， ∴DM＝OD+OM＝5+3＝8； ②连接OA，如图所示： 同①得：OM＝3， ∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2； 综上所述，DM的长为8或2， 故答案为：8或2． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股