21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系　课件　2025-2026学年人教版数学九年级上册

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 栏目导航 要点概览 探究新知 根与系数的关系 (1)如果方程x2+px+q=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　 　,x1x2=　　; (2)如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1,x2,那么x1+x2= 　 　,x1x2=　 　. 要点概览 -p q 探究新知 探究点一　一元二次方程的根与系数的关系 【例1】 已知x1,x2是一元二次方程2x2-5x+3=0的两个实数根,试求下列各式的值: (1)x1+x2; (2)x1x2; 4 5 一些常见的关于两根代数式的变形 (2)(x1+a)(x2+a)=x1x2+(x1+x2)a+a2; 6 注意:根与系数的关系(韦达定理)成立的两个重要前提:①一般形式;②判别式Δ=b2-4ac≥0. 7 【新知巩固】 2.若x1,x2是方程x2-2x-3=0的两根,则x1+x2+x1x2的值是( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 A B 3.已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2,x2=3,则b+c的值是( ) A.-10 B.-7 C.-14 D.-2 C 3 -2 022 6.若x1,x2是2x2-4x-2=0的两个根,求下列各式的值. (1)(x1+1)(x2+1); 解:∵x1,x2是2x2-4x-2=0的两个根, ∴x1+x2=2,x1x2=-1. (1)(x1+1)(x2+1) =x1x2+x1+x2+1 =-1+2+1 =2. (2)(x1-x2)2; 解:(2)(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =22-4×(-1) =8. 探究点二　利用一元二次方程根与系数的关系求字母的值或取值范围 【例2】 已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围; (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m的值. 【新知巩固】 7.若关于x的方程x2+(2-k)x+k2=0的两根互为倒数,则k等于( ) A.3 B.1 C.-1 D.±1 8.若关于x的方程2x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根满足关系式|x1-x2|= 1,则k的值为( ) A.11 B.-1 C.11或-1 D.11或-1或1 C C 9.(2023雅安期末)已知关于x的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7,那么m的值是　 　.  10.(2023岳阳)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m=　 　.  11.关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; -1 3 谢谢观赏！ 20 - 解:(1)x1+x2=-=. (2)x1·x2=. (3)+; (4)+. 解:(3)+=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=. (4)+==×=. (1)+=(x1+x2)2-2x1x2; (3)+==; (4)x2+x1=x1x2(x1+x2); (5)|x1-x2|==. 1.已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则-5x1-2x2的值为 ( ) A.-7 B.-3 C.2 D.5 4.(2024成都期中)已知一元二次方程x2-2x-1=0的两个根分别是x1,x2,则-x1+x2=　 　. 5.设a,b是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则(a-1)(b-1)的值为 　 　. 解:(3)x2+x1 =x1x2(x1+x2) =-1×2 =-2. (3)x2+x1. 解:(1)根据题意,得 Δ=(-4)2-4(-2m+5)>0,解得m>. 解:(2)设x1,x2是方程的两根. 根据题意,得x1+x2=4>0,x1x2=-2m+5>0,解得m<. ∴m的取值范围为<m<.∵m为整数,∴m=1或m=2. 当m=1时,方程两根都是整数; 当m=2时,方程两根都不是整数.∴整数m的值为1. 解:(1)由题意知(2m-3)2-4m2>0,解得m<. (2)若x1,x2是方程的两根,且+=1,求m的值. 解:(2)由题意,知x1+x2=-(2m-3)=3-2m, x1·x2=m2.由+=1, 即=1可得=1, 解得m=1(舍去)或m=-3, ∴m的值是-3. 6.已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0. 若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足+=14.求+4x2-10的值. 解:∵关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0有实数根, ∴Δ=b2-4ac=[2(m-1)]2-4×1×m2≥0,解得m≤. ∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两实数根, ∴x1+x2=-2(m-1),x1·x2=m2. ∵+=14,∴(x1+x2)2-2x1·x2=14. ∴[-2(m-1)]2-2m2=14. ∴4m2-8m+4-2m2=14. ∴m=5(舍去)或-1. 当m=-1时,方程变为x2-4x+1=0, ∴x1+x2=4,-4x1+1=0. ∴=4x1-1. ∴+4x2-10=4x1-1+4x2-10=4(x1+x2)-11=16-11=5. $$