21.2 解一元二次方程（直接开平方法、配方法）预习知识点梳理+巩固练习+真题训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法） 教学目标 1、理解直接开平方法，能用直接开平方解简单的一元二次方程； 2、理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程。 3、经过对方程解得探究过程，理解方程解得意义 Part01.一元二次方程的解法：直接开平方法 知识精讲： 一元二次方程的解法：直接开平方法 知识点 典题范例 直接开平方法： 如：a²=b（a≠0）或（a+b）²= c或（a+b）²=（c+d）²的方程，能利用平方根的意义求取得此方程的解 （+4）²= 9 +4 = ±3 +4 = 3或 +4 = -3 = -1或 = -7 1题类:直接开平方法解一元二次方程：²=b（b≥0） （1）²-2 = 0 （2）2²-3 = 0 （3）5²- = 0 （4）12- 25 = 0 2题类：直接开平方法解一元二次方程：（a±b）²=c（c≥0） （1）（+3）²=4 （2）（2- 5）²=25 （3）（3+2）²= （4）（4+1）²= 8 3 题类：直接开平方法解一元二次方程：a（b±c）²= d（d≥0） （1）2（+5）²= 8 （2）（4-1）²- 6 = 0 （3）36（-1）²- 25 = 0 （4）（2+3）²= 4 题类：直接开平方法解一元二次方程：（a±b）²=（c±d）² （1）（3-2）²=² （2）（2-1）² = （4＋3）² （3）（-5）² =（5＋6）² （4）（+2）²- （3-1）²= 0 5 题类：直接开平方法解一元二次方程：a（b±c）²=d（m±n）² （1）2（2-2）²= 8（+5）² （2）4（3-9）² = 9（4＋6）² （3）（-5）² =（2＋2）² （4）4（6+4）²- （3-8）²= 0 Part02.一元二次方程的解法：配方法 知识精讲： 一元二次方程的解法：配方法 知识点 典题范例 配方法： 将方程从形如：a²+b+c=0（a≠0）的一元二次方程转化为（±m）²=n（n≥0）的完全平方格式后，再运用直接开平方法求解 配方法解一元二次方法步骤： 1.整理：将一元二次方程整理为二次项系数为1的一般形式 2.移项：将常数项移至方程等式右侧 3.配方：方程两侧同时加上一次项系数一半的值的平方，将其化为（±m）²=n（n≥0）的完全平方格式 4.两边直接开平方求值 4²+8-12=0 ↓ ²+2-3=0 ↓ ²+2=3 ↓ ²+2+1=3+1 ↓ （+1）²=4 ↓ +1=±2 ↓ +1=2或+1=﹣2 ↓ =1 或 =﹣3 1 题类：配方法解一元二次方程：²±m＋n = 0 填上适当的数使下列各式成立 （1）²-6-7 = 0 解（1）移项，得²-6 = . 方程左边配方，得²-2∙∙3+ ² = 7+ . 即（ ）² = . 所以-3 = . 原方程的解是= . = . （2）²+3+1 = 0 移项，得²+3 = -1 方程左边配方，得²+2∙∙ + （ ）²= -1 + . 即（ ）² = . 所以 . 原方程的解是：= . = . 2 题类：配方法解一元二次方程²±m＋n = 0 （1）²+8+ 7 = 0 （2）²-5-2 = 0 3 题类：配方法解一元二次方程：a²±b＋c = 0 填上适当的数使下列各式成立 （1）2²-4-10 = 0 解：（1）化二次项系数为1：²-2-5 = 0 移项，得²-2 = . 方程左边配方，得²-2∙∙1+ ² = 5+ . 即（ ）² = . 所以-1 = . 原方程的解是= . = . （2）3²+10= 0 化二次项系数为1：²+ - = 0 移项，得²+ = 方程左边配方，得²+2∙∙ + （ ）²= + . 即（ ）² = . 所以 . 原方程的解是：= . = . 4 题类：配方法解一元二次方程：a²±b＋c = 0 （1）4²-12-1 = 0 （2）3²+2-2 = 0 课中巩固 1 题类：直接开平方法解一元二次方程 下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ） ① = 1 ②（-2）²= 5 ③ （ ④ ²=+3 ⑤ ⑥ ⑦ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 2 题类：配方法解一元二次方程 把一元二次方程²－4+ 1=0，配成( + p )² = q的形式，则p、q的值是（ ） A.p= -2，q=5 B. p= -2，q=3 C. p=2，q=5 D. p=2，q=3 3 题类：直接开平方法解一元二次方程 解关于的方程：5²－125 = 0 4 题类：直接开平方法解一元二次方程 （1）( 3 - 2 ) ( 3+ 2 ) = 8； （2）( 5 - 2 )²= 9 ( + 3 )² （3） - 6 = 0 （4）（ - m）²= n （n为正数） 5 题类：配方法解一元二次方程 用配方法解方程：²+ 4 + 2 = 0 6 题类：配方法解一元二次方程 用配方法解下列一元二次方程 （1）4²-12 - 1 = 0 （2）2²- 5 = - 2 （3）²+ - = 0 （4）3 + 1 = 2 真题训练 例1 题类：配方法解一元二次方程 （2024年荔湾西关外国语区九上9月月考）用配方法解方程 ²-2 = 2时，配方后正确的是（ ） A.（ + 1）²= 3 B.（ + 1）²=6 C.（ - 1）²= 3 D.（ -1）²= 6 例2 题类：直接开平方法解一元二次方程 （2024年广州二中九上期中） 方程 ²= 4的解是（ ） A. = 2 B. = - 2 C. = 4，= - 4 D.= 2，= - 2 例3 题类：配方法解一元二次方程 （2024年113中学九上期中卷） 若一元二次方程 -²+ b-5 = 0配方后为（ ）²=k，则b，k的值分别是（ ） A.6 ，4 B. 6 ，5 C.﹣6 ，5 D.﹣6 ，4 例4 题类：配方法解一元二次方程 （2024年广州华侨外国语九上期中）一元二次方程²- 2 - 7 = 0用配方法可变形为（ ） A.（ + 1）²=8 B.（+2）²=11 C.（-1）²=8 D.（-2）²=11 例5 题类： 直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程 （2024年荔湾区西关外国语集团九上9月月考） 请选择适当的方法解下列一元二次方程： （1）（）²－9 ＝0 （2）2²－－3 ＝0 例6 题类：配方法解一元二次方程 （2024年广州海珠江南外国语九上期中卷）解方程： （1）²+ 4 - 12 = 0 （2）2²+ 2 + = 0 例7 题类：直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程 （2024-2025学年广州海珠区九上期末卷）解方程： （1）2²= 8 （2）3（-1）= 2-2 答案： 一元二次方程的解法：直接开平方法 1.（1）= = ﹣ （2）= = ﹣ （3）= = ﹣ （4）= = ﹣ 2.（1）= - 1，= - 5 （2）= 5，= 0 （3）= = ﹣ （4）= = ﹣ 3.（1）= - 3，= - 7 （2） = 1，= - （3）= = （4）= - = ﹣ 4.（1）= 1，= （2）= - 2，= - （3）= - = ﹣ （4）= = ﹣ 5.（1）= - 3，= - 1 （2）= - 6，= 0 （3）= - 5，= （4）= - = ﹣ 一元二次方程的解法：配方法 1.（1）²-6-7 = 0 解（1）移项，得²-6 = 7 . 方程左边配方，得²-2∙∙3+ 3 ² = 7+ 9 . 即（ x - 3 ）² = 16 . 所以-3 = ±4 . 原方程的解是= 7 . = -7 . （2）3²+10+2= 0 化二次项系数为1：²+ - = 0 移项，得²+ = 方程左边配方，得²+2∙∙ + （ ）²= + . 即（ x + ）² = . 所以 x + = ± . 原方程的解是：= . = - . 2.（1）= - 7，= - 1 （2）= ，= 3.填上适当的数使下列各式成立 （1）2²-4-10 = 0 解：（1）化二次项系数为1：²-2-5 = 0 移项，得²-2 = 5 . 方程左边配方，得²-2∙∙1+ 1 ² = 5+ 1 . 即（ x - 2 ）² = 6 . 所以-1 = ± . 原方程的解是= + 1 . = - +1 . （2）3²+10= 0 化二次项系数为1：²+ - = 0 移项，得²+ = 方程左边配方，得²+2∙∙ + （ ）²= + . 即（ x + ）² = 4 . 所以 x + = ±2 . 原方程的解是：= . = - . 4. （1）= ，= （2）（2）= ，= 课中巩固： 1. D 2. B 3. = 5，= - 5 4. （1）= = ﹣ （2）= - 14 ，= - （3） = 7 ，= 1 （4）= n+m，= -n+m 5. = ，= - 6. （1）= = ﹣ （2）= 2 ，= （3） = ﹣ ，= （4）y = 真题训练： 例1：C 例2：D 例3：D 例4：C 例5：（1）== - 1 （2）= ，= - 1 例6：（1）= = - 6 （2）x = - 例7：（1）= = ﹣2 （2）= 1 ，= 学科网（北京）股份有限公司 $$