4.5　相似三角形判定定理的证明课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.5　相似三角形判定定理的证明 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 探究1：判定定理1的证明 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 2 证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 E D F ∠1=∠B，∠2 =∠C， ∴ ∴ A′ B′ C′ A B C 1 2 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE = CF. ∴ ∴ 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. E D F A′ B′ C′ A B C 1 2 ∵∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴△ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴△ABC ∽△A'B'C'. E D F A′ B′ C′ A B C 1 2 问题1：证明过程中共作了几条辅助线，各辅助线是如何添加的？作辅助线的目的是什么？ 截取线段找点D→作两条平行线→线段成比例 问题2：证得四边形DFCE是平行四边形目的是什么？ 平行四边形→线段相等→三边成比例 问题3：根据什么证得△ADE∽△ABC? 相似三角形的定义． 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知 ∠A= ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C B' A' C' 判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 探究2：判定定理2，3的证明 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又∠A′=∠A. ∴ △A′DE ≌△ABC， ∴ △A′B′C′ ∽△ABC. ∵ A′D=AB， ∴ B A C D E B' A' C' 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中， 求证：△ABC ∽△A'B'C' . A′ B′ C′ A C B ∴ 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ， ∴ △ADE∽△ABC. E D A′ B′ C′ A C B 又 ，AD=A′B′， ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ ， . E D A′ B′ C′ A C B 问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？ 作平行线→相似→相等→相似 问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？ 定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些． 相似三角形判定定理的证明 定理证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 定理的运用 1. 如图，D为△ABC的边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，连接 BE，CD相交于点F，则下列等式不成立的是（　C　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC， AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　C　） A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 第2题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC相交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中的相似三角形有（　C　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 第3题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F， ＝ ，BF＝8，则DE的长为（　A　） A. B. C. 2 D. 3 第4题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 在如图所示的正方形网格中，△ABC与△FDE的关系是 ， ∠A的度数是 ⁠. 第5题 相似　 45°　 第6题 6. （眉山中考）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点 D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点 F，G，则FG的长为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8， BC＝6，D是边AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点 E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，则图②中 的值 为 ⁠. 第7题 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （14分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上， ∠ACD＝∠ABE. 第8题 （1） 求证：△ABC∽△AEB； 解：（1） ∵ 四边形ABCD为菱形， ∴ ∠ACD＝∠BCA. ∵ ∠ACD＝∠ABE，∴ ∠BCA＝∠ABE. ∵ ∠BAC＝∠EAB， ∴ △ABC∽△AEB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 当AB＝6，AC＝4时，求AE的长. （2） ∵ △ABC∽△AEB，∴ ＝ .∵ AB＝6，AC＝4，∴ ＝ .∴ AE＝9 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，E是边AC上 一点，且DC2＝BC·EC，AD＝6，AE＝4. 第9题 （1） 求证：△BCD∽△DCE； 解：（1） ∵ CD是∠ACB的平分线，∴ ∠BCD＝∠DCE. ∵ DC2＝ BC·EC，∴ ＝ .∴ △BCD∽△DCE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 求证：△ADE∽△ACD； （2） ∵ △BCD∽△DCE，∴ ∠B＝∠EDC. ∵ ∠ADC＝∠B＋ ∠DCB＝∠ADE＋∠EDC，∴ ∠ADE＝∠DCB＝∠ACD. 又∵ ∠A ＝∠A，∴ △ADE∽△ACD （3） 求CE的长. （3） ∵ △ADE∽△ACD，∴ ＝ ， 即 ＝ .∴ AC＝9.∴ CE＝AC－AE＝9－4＝5 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$