第五章 二元一次方程组 单元测试卷 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第五章 二元一次方程组 单元测试卷 2025—2026学年北师大版数学八年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共10题；共30分) 1．（3分）已知实数，满足，且，则的值为(　　) A． B． C． D． 2．（3分）已知方程组 和方程组 有相同的解，则 的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 3．（3分）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．6 4．（3分）甲、乙两地相距60千米，一艘轮船往返两地，顺流用2小时，逆流用3小时，那么这艘轮船在静水中的速度是（　　） A．5千米/时 B．20千米/时 C．25千米/时 D．30千米/时 5．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（　　） A．200元 B．480元 C．600元 D．800元 8．（3分）有一个两位数和一个一位数若在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是139；若用这个两位数除以这个一位数，则商7余3，则这个两位数为（　　） A．59 B．69 C．79 D．89 9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，则一次函数 的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（3分）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(共8题；共24分) 11．（3分）二元一次方程组 的解是　 　。 12．（3分）若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为　 　． 13．（3分）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这个两位数的数字对换位置，那么所得的新数与原数的和是143，则这个两位数是　 　． 14．（3分）在如图所示的长方形中放置了8个大小和形状完全相同的小长方形，设每个小长方形的长为x，宽为y，根据图中提供的数据，列方程组　 　. 15．（3分）如图，已知函数和的图象交于点，则的值为　 　. 16．（3分）如图，用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知 ，则点 的坐标为　 　. 17．（3分）“九九重阳节， 浓浓敬老情”，今年某花店在重阳节推出“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束.“松鹤长春”花束中有8枝百合，16 枝康乃馨；“欢乐远长”花束中有6枝百合，16枝康乃馨，2枝剑兰；“健康长寿”花束中有4枝百合，12枝康乃馨，2枝剑兰.已知百合花每枝1元，康乃馨每枝 元，剑兰每枝5元，重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元，则剑兰的销售量为　 　枝. 18．（3分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　 　. 三、解答题(共6题；共46分) 19．（6分）用合适的方法解二元一次方程组 （1）（3分） （2）（3分） 20．（8分）解方程组，下面是两同学的解答过程： 小敏：解：把方程变形为， 再将代入方程①得…． 小川：解：将方程的两边乘以3得，再将两个方程相加，得到…． （1）（4分）小敏的解法依据是　 　，运用的方法是　 　； 小川的解法依据是　 　，运用的方法是　 　； ①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． （2）（4分）请直接写出原方程组的解． 21．（8分）为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表： 《论语》数量/本 《弟子规》数量/本 总费用（元） 40 30 1250 50 20 1300 （1）（4分）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？ （2）（4分）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 22．（8分）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）（2分）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）（2分）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）（4分）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23．（8分）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1，b). （1）（2分）求b的值. （2）（2分）不解关于x，y的方程组直接写出它的解. （3）（4分）直线是否也经过点P?请说明理由. 24．（8分） 共享单车作为一种低碳、时尚、绿色的出行方式，已成为市民出行的“新宠”.某公司计划安装5 760辆共享单车投入市场运营.由于抽调不出足够的熟练工人完成安装，公司准备招聘一批新工人，将他们培训到能独立进行安装后上岗.生产开始后发现：4名熟练工人和5名新工人每天共安装88辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多. （1）（4分）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； （2）（4分）若公司招聘m名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工人刚好一个月(30天)完成安装任务，但是在需要安装的共享单车中不能正常投入运营的占4%，且招聘的新工人比抽调的熟练工人少，求m的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：， ①＋②得：5x＋5y＝7k＋4， ∴x+y=， ∵， ∴， 解得：k＝. 故答案为：C． 【分析】先利用加减消元法可得5x＋5y＝7k＋4，可得x+y=，再结合可得，最后求出k的值即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：解方程组 ， 得 ， 代入x+y+m=0得，m=1， 故答案为：A. 【分析】根据两方程组有相同的解，将方程组中两个已知方程组成方程组，求出x、y的值，然后将其代入x+y+m=0中，即可求出m. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：关于x，y的方程组和有相同的解， 得新的方程组与， 解方程组：，得； 将代入，得， 解方程组：，得， 则． 故答案为：D． 【分析】根据题意重新组成方程组，再求解方程组的解，再将方程组的解代入，求出a、b的值，最后将a、b的值代入a+b计算即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设轮船在静水中的速度为 千米/时，水流速度为 千米/时，由题意得： 解得 即这艘轮船在静水中的速度是25千米/时 故答案为：C 【分析】先求出，再解方程组即可。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：若设兔子有x只，鸡有y只，则兔有条腿，鸡有只脚， 根据题意，可列方程组为， 故选：D． 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设兔子有x只，鸡有y只，得到兔有条腿，鸡有只脚，结合鸡的数量加上兔的数量等于35，以及鸡的脚的数量加上兔子的脚的数量等于94，列出列方程组，即可得到答案． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点A的纵坐标为3， 当2x+1=3时，， ∴一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A坐标为（1，3）， 又∵方程组可变形为， ∴方程组的解为：． 故答案为：C． 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两一次函数图象的交点坐标即是二元一次方程组的解。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元， 依题意，得： ， 解得： . 故答案为：D. 【分析】设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，根据“调价前每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：设这个两位数为 这个一位数为 则 把②代入①得： 把 代入②得： 故答案为：A. 【分析】设这个两位数为 这个一位数为 则根据“一位数的10倍+两位数=139，两位数=一位数的7倍+3”可列方程组，再解方程组可得答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴（7-k）x-2=（3k-1）x+5 （7-k）x-（3k-1）x=7 （7-k-3k+1）x=7 （8-4k）x=7 ∵二元一次方程组无解 ∴8-4k=0 解得：k=2 ∴将k=2代入一次函数 得 ∵k=2﹥0，b= ＜0 ∴一次函数 的图象不经过第二象限 故答案为：B 【分析】根据二元一次方程组无解求出k的值，再根据一次函数的图象与其系数的关系求解即可。 10．【答案】C 【解析】【解答】设长方体木块的长是xcm，宽是ycm，由题意得 可得 则桌子的高度是 故答案为：C． 【分析】设长方体木块的长是xcm，宽是ycm，根据题意列出关于x 、y的方程求解即可。 11．【答案】 【解析】【解答】根据加减消元法，把二元一次方程组 中①+②可得3x=6，解得x=2，再把x=2代入①可求得y=3，即方程组的解为 . 故答案为： . 【分析】根据y的系数互为相反数，可利用加减消元法解方程组. 12．【答案】1或3或5 【解析】【解答】解：， 由②可得：， 把③代入①可得：， 把④代入③可得：， ∵关于x、y的方程组有整数解， ∴a-2=±1或±3或±9，2-a=±1或±2或±3或±6， 解得：a=±1或3或5， ∴正整数a的值为1或3或5， 故答案为：1或3或5. 【分析】先求出方程组的解可得，，再根据题意可得a-2=±1或±3或±9，2-a=±1或±2或±3或±6，最后求出a的值即可. 13．【答案】49 【解析】【解答】设个位数字是x，则十位数字是y， ， 解得 ， ∴这个两位数是49， 故答案为：49. 【分析】设个位数字是x，则十位数字是y，根据题意即可得出关于x、y的一个二元一次方程组，求解方程组得出x、y的值，进一步即可得出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， 整理得： ； 故答案为： . 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为17，宽的两种不同的表达式列出方程组即可得解； 15．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意和图示可知，直线y＝ax＋b的图象过（0，3），P（−3，1）， ∴， 解得：， 解得：a=， 故答案为：. 【分析】将点（0，3），P（−3，1）分别代入可得，再求出a的值即可. 16．【答案】（ ， ） 【解析】【解答】解：设长方形的长为x，宽为y， ∵A（﹣2，6）， ∴ ， 解得： ， ∴2x= ， x+y= + = ， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为（ ， ）， 故答案为：（ ， ）. 【分析】设长方形的长为x，宽为y，利用A（﹣2，6），可得，解出x、y的值，从而可得2x与x+y的值，由点B在第二象限，即得结论. 17．【答案】216 【解析】【解答】解：设“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束的销量分别为： （单位：束）， 由题意可得：一束“松鹤长春”的单价为： （元）， 一束“欢乐远长”花束的单价为： （元）， 一束“健康长寿”花束的单价为： （元）， ②① 得： 即剑兰的销量为：216枝. 故答案为：216 【分析】设“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束的销量分别为： （单位：束）.由题意，利用总价=单价×数量可求出每束“松鹤长春”、 “欢乐远长”、“健康长寿”三种花束的价格.根据数量关系：“重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元”，即可列出关于x、y、z的三元一次方程组.利用2×②-5×①可得出26y+26z=2808，从而得出（y+z）的值，再将其代入（2y+2z）中即可得出答案. 18．【答案】1：8 【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意得 ， 解得， ∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额的比为（5b-5a）：20b=1：8， 故答案为：1：8. 【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3a，5a，2a，7月份总的增加的营业额为5x，则摆摊增加的营业额为2x， 7月份总的营业额为20b，则7月份摆摊的营业额为7b，堂食的营业额为8b，外卖的营业额为5b，根据题意列出方程组，将a、b用x表示，进而求解. 19．【答案】（1）（1）解： 将②代入①得： 解得 将代入②可得： 原方程组的解为：； （2）解： 得： 将代入②可得： 原方程组的解为：． 【解析】【分析】 （1）利用代入消元法运算即可； （2）利用加减消元法运算即可． （1）解： 将②代入①得： 解得 将代入②可得： 原方程组的解为：； （2）解： 得： 将代入②可得： 原方程组的解为：． 20．【答案】（1）②；④；②；⑤ （2）解：方程组的解为． 【解析】【解答】解：（2）根据题意 小敏解法是依据等式的性质，先进行恒定变形，得到一未知量的表达式，然后代入另一个方程消掉这个未知量，再解方程，是代入消元法 故第一空填：②等式的性质， 第二空填：④代入消元法 小川解法是依据等式的性质使未知数的系数变为相同或相反，再把两个方程相加或相减，达到先消掉一个未知量的目的，是加减消元法 故第三空填：②等式的性质， 第四空填：⑤加减消元法 解： 由② 得③ 将③代入①得 解得x=2 将x=2代入③ 解得y=3 故答案为：方程组的解为 【分析】（1）第一种解法是代入消元法，依据的是等式的性质，进行恒定变形再代入方程达到消元的目的；第二种解法是加减消元法，依据等式的性质使未知数的系数相同或相反，再相加或相减达到消元的目的； （2）掌握二元一次方程组的两种消元的解法，本题直接选用代入消元法求解即可。 21．【答案】（1）解：设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元． （2）解：设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本， 由题意得：， 解得， 设购买方案的总费用为元， 则， 由一次函数的性质可知，当时，随的增大而增大， 因为是正整数， 所以当时，取得最小值，最小值为， 答：最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元． 【解析】【分析】（1）设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，再根据购买信息表建立方程组，解方程组即可； （2）设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，先根据“《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍”可得不等式组，解不等式组，求出的取值范围，再设购买方案的总费用为元，求出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，可得出a取最小值，时，取得最小值，求解即可． 22．【答案】（1）解：设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元， 依题意， 得： ， 解得： . 答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元 （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台， 依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400， 解得：a≤18． 答：A种型号的电风扇最多能采购18台 （3）解：依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060， 解得：a≥16． ∵a≤18， ∴16≤a≤18． ∵a为整数， ∴a＝16，17，18． ∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台 【解析】【分析】（1）根据已知条件，列二元一次方程组，可以设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据单价×销售量＝销售收入列二元一次方程组求解； （2）根据进价×采购量=采购金，设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台列一元一次不等式求解. 23．【答案】（1）解：∵ 直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1，b)， ∴1+1=b， 解得：b=2 （2）解：点P的坐标为（1，2）， ∴ 关于x，y的方程组的解为 （3）解：∵点P（1.2）在直线y=mx+n上， ∴m+n=2， ∴2=n×1+m，故直线y=nx+m也经过点P． 【解析】【分析】（1）把点P坐标代入直线 l1 的解析式，即可求得b的值； （2）确定点P的坐标（1，2），观察图象即可得到方程组的解； （3）把点P的坐标代入l2 的解析式，可得m+n=2，再把点P坐标代入l3验证，即可得到结论. 24．【答案】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车. 由题意，得解得 故每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车. （2）解：设抽调熟练工人数为n名(n>m)， 由题意可得，需安装的共享单车数为5 760÷(1-4%)=6 000(辆)， 则(8m+12n)×30=6 000， 化简得2m+3n=50，n=. ∵m，n均为正整数，且n>m，∴m可取1，4，7.∴所求m的值为1或4或7. 【解析】【分析】(1)设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，列出方程组解之即可求解； （2）设抽调熟练工人数为n名(n>m)，列出方程(8m+12n)×30=6 000，化简得n=，根据m，n均为正整数，且n>m，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$