21.3　实际问题与一元二次方程课件　2025-2026学年人教版数学九年级上册　

21.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　传播、比赛、数字类问题 栏目导航 要点概览 探究新知 1.传播问题 传染源+第一轮传染的人数+第二轮传染的人数+…=总数. 2.单、双循环比赛和握手问题 要点概览 3.数字问题 (1)一个两位数,十位数字为a,个位数字为b,则这个两位数表示为 　 　;  (2)一个三位数,百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,则这个三位数表示为　 　;  (3)连续的三个整数,若中间一个数为n,则其余的两个数分别为 　 　. 10a+b 100x+10y+z n-1,n+1 探究新知 探究点一　列一元二次方程解传播类问题 【例1】 某种病毒传播非常快,如果一个人被感染,经过两轮感染后就会有81个人被感染. (1)设每轮感染中平均一个人会感染x个人,第一轮感染后新感染的人数是多少?共有多少人被感染?第二轮感染中传染源有多少人?第二轮感染后新感染的人数是多少?共有多少人被感染? 解:(1)第一轮感染后新感染的人数是x人,共有(1+x)人被感染,第二轮感染中传染源是(1+x)人,第二轮感染后新感染的人数为x(1+x)人,共有[(1+x)+x(1+x)]人被感染. 5 (2)列出方程求每轮感染中平均一个人会感染几个人? (3)若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的人会不会超过720人? 解:(2)设每轮感染中平均一个人会感染x个人, 依题意,得1+x+x(1+x)=81, 解得x1=8,x2=-10(不符合题意,舍去). 答:每轮感染中平均一个人会感染8个人. (3)81×(1+8)=729(人),729>720. ∴三轮感染后,被感染的人会超过720人. 6 列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,弄清已知量、未知量以及它们之间的关系; (2)设:设未知数,用字母表示题目中的未知量,一般有直接设未知数和间接设未知数的方法; (3)列:根据题目中的等量关系列出一元二次方程; (4)解:解一元二次方程; (5)验:检验所求的每一个解是否符合题意; (6)答:回答题目中要解决的问题. 7 【新知巩固】 1.有一个人患流感,经过两轮传染后共有64个人患流感,每轮传染中平均一个人传染几个人?设每轮传染中平均一个人传染x个人,可列方程为( ) A.1+2x=64 B.1+x2=64 C.1+x+x2=64 D.(1+x)2=64 D 2.(2025潍坊期中)为了宣传垃圾分类,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,求n的值. 解:依题意,得1+n+n2=111, 解得n1=10,n2=-11(不符合题意,舍去). 即n的值为10. 探究点二　比赛和握手问题 【例2】 在一次聚会上,规定每两人见面必须握手,且只握手1次. (1)若参加聚会的有4人,则共握手　　　次;若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手　　　　　　次; (2)若参加聚会的人共握手45次,求参加聚会的人数; (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题:有m个即将初中毕业的学生在一起聚会,每两个人之间互送一张照片,共送出　　　　　张照片.  (3)m(m-1) 【新知巩固】 3.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为　 　.  11 4.某市要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一 场),计划安排21场比赛. (1)应该邀请多少支球队参加比赛? (2)若某支球队参加3场后,因故不参加以后的比赛,问实际共比赛多 少场? 探究点三　数字问题 【例3】有一个两位数,个位数字与十位数字的和为14,交换数字位置后,得到新的两位数,这个新的两位数比这两个数字的积还大38,求这个两位数. 解:设个位数字为x,则十位数字为14-x,两数字之积为x(14-x). 两个数字交换位置后的数为10x+(14-x). 根据题意,得10x+(14-x)-x(14-x)=38,整理,得x2-5x-24=0, ∴(x-8)(x+3)=0,∴x1=8,x2=-3. ∵个位上的数字不可能是负数,∴x=-3舍去. 当x=8时,14-x=6,∴原数为68.答:这个两位数是68. 【新知巩固】 5.(2025连云港期中)两个连续的偶数乘积为224,设较小的偶数为x,可得方程　 　.  6.一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数,则这个两位数是多少? x(x+2)=224 解:设个位数字为x,那么十位数字是(x-3),这个两位数是10(x-3)+x, 依题意,得x2=10(x-3)+x, ∴x2-11x+30=0.∴x1=5,x2=6.∴x-3=2或x-3=3. 答:这个两位数是25或36. 谢谢观赏！ 16 (1)单循环比赛问题:若有n支队伍参赛,则共有n(n-1)场比赛; (2)双循环比赛问题:若有n支队伍参赛,则共有n(n-1)场比赛; (3)握手问题:若有n人与会,则共握手n(n-1)次. 解:(1)6　n(n-1) 解:(2)设有x人参加聚会. 根据题意,得x(x-1)=45, 解得x1=10,x2=-9(不符合题意,舍去). 答:参加聚会的有10人. 解:(1)设应该邀请x支球队参加比赛. 根据题意,得x(x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(舍去). 答:应该邀请7支球队参加比赛. (2)3+×6×5=18(场).答:实际共比赛18场. $$第3课时　图形面积类问题 栏目导航 要点概览 探究新知 1.图形面积问题 解决几何图形面积问题通常是设出合理的未知数,再根据面积公式列出方程求解. 注意:与图形有关的列方程问题,一是通过画图分析寻找等量关系;二是找出未知量应满足的不等关系. 2.图形运动变化问题 图形运动变化问题,是用“静”的方法来处理“动”的问题,即在静态图形中,找出已知量与未知量之间的关系. 注意:图中有动点时,常构造直角三角形,利用勾股定理建立方程求解. 要点概览 探究新知 探究点一　规则图形的面积问题 【例1】如图所示,要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈,用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈,羊圈的边长AB为 多少? 解:设AB的长度为x m,则BC的长度为(100-4x)m. 根据题意,得(100-4x)x=400,解得x1=20,x2=5. 当x=20时,100-4x=20<25,符合题意; 当x=5时,100-4x=80>25,不符合题意,舍去. 答:羊圈的边长AB为20 m. 4 【新知巩固】 1.一花户有26 m长的篱笆,要围成一边靠住房墙(墙长12 m)的面积为80 m2的长方形花园,且垂直于住房墙的一边留一个1 m的门(如图所 示),设垂直于住房墙的其中一边长为x m,则可列方程为( ) D 2.一个直角三角形的两条直角边的边长相差7 cm,且三角形的面积为30 cm2,则该三角形的斜边长为　 　.  3.(2025大丰区期中)如图所示,一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒,则该铁盒的体积为　 cm3. 13 cm 48 6 探究点二　边框与甬道的面积问题 【例2】 某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草坪,如图所示,若想使每一块草坪的面积都为144 m2,求道路的宽度. 解:如图所示,设道路的宽为x m. 根据题意,得(40-2x)(26-x)=6×144,整理,得x2-46x+88=0, 解得x1=2,x2=44(不符合题意,舍去). 答:道路的宽为2 m. 【新知巩固】 4.(2025涧西区期中)如图所示,在一幅长80 cm,宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边制成矩形挂图,如果要使整个挂图的面积为5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,则可列方程( ) A.(80+2x)(50+2x)=5 400 B.(80-2x)(50-2x)=5 400 C.(80+x)(50+x)=5 400 D.(80-x)(50-x)=5 400 A 5.如图所示,某市世纪广场有一块长方形绿地长18 m、宽15 m,在绿地中开辟三条道路后,剩余绿地的面积为224 m2,则图中x的值为　 　. 1 m 探究点三　动点问题 【例3】如图所示,△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=4 cm,一动点P从C出发沿着CB边以1 cm/s的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC边以 2 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t(s). (2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半?若能,求出t的值;若不能,说明理由. 【新知巩固】 6.如图所示,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以 3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为 t s,当PQ=10 cm时,t等于( ) C 7.(2024临沂模拟)如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=30 cm,BC= 25 cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动,速度是2 cm/s;同时,动点Q从点B出发,沿BC方向运动,速度是1 cm/s,则经过　 　s后,P,Q两点之间相距25 cm.  10 谢谢观赏！ 14 A.x()=80 B.x(26-2x)=80 C.x()=80 D.x(27-2x)=80 解:(1)∵S△PCQ=t(8-2t),S△ABC=×4×8=16, ∴t(8-2t)=16×,整理,得t2-4t+4=0,解得t=2. 答:当t=2 s时,△PCQ的面积为△ABC面积的. (1)当t为几秒时,△PCQ的面积是△ABC面积的? 解:(2)当S△PCQ=S△ABC时, t(8-2t)=16×, 整理,得t2-4t+8=0, Δ=(-4)2-4×1×8=-16<0, ∴此方程没有实数根. ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半. A. B.或4 C.或 D.4 $$第2课时　平均变化率、销售类问题 栏目导航 要点概览 探究新知 1.平均增长率问题 若增长前的数量为a,以后每次的平均增长率为x,则第一次增长后的数量为　 　,第二次增长后的数量为　 　.  2.销售问题 (1)利润=售价-　 　=　 　×利润率;  要点概览 a(1+x) a(1+x)2 进价 进价 利润率 利润率 销售量 探究新知 探究点一　列一元二次方程解决变化率问题 【例1】 为了切实让老百姓得到实惠,某种药品原价200元/瓶,经过连续两次降价后,现在仅卖98元/瓶,现假定两次降价的百分率相同,设该种药品平均每次降价的百分率是x. (1)第一次降价后药品的价格为　　　　元,第二次降价后药品的价格为　　　　元(用含x的代数式表示);  解:(1)200(1-x)　　200(1-x)2 4 (2)求该种药品平均每次降价的百分率. 解:(2)由题意,得200(1-x)2=98, 解得x1=1.7(不符合题意,舍去), x2=0.3=30%. 答:该种药品平均每次降价的百分率是30%. 5 平均变化率问题可抽象为一元二次方程,a为起始量,b为终止量,平均增长(降低)率为x,则第一次增长(降低)后的值为a(1±x),第二次增长(降低)后的值为a(1±x)2,则两次增长(降低)后的方程为a(1±x)2=b. 6 【新知巩固】 1.(2025阜新)近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是( ) A.16(1+x)2=23 B.23(1-x)2=16 C.23-23(1-x)2=16 D.23(1-2x)=16 B 2.(2024福建期中)某食品厂七月份生产面包52万个,第三季度生产面包共196万个,若x满足的方程是52+52(1+x)+52(1+x)2=196,则x表示的意义是( ) A.该厂七月份的增长率 B.该厂八月份的增长率 C.该厂七、八月份平均每月的增长率 D.该厂八、九月份平均每月的增长率 D 3.“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标,第三阶段实现水稻亩产量 1 008 kg的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率; 解:(1)设亩产量的平均增长率为x, 依题意,得700(1+x)2=1 008, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去). 答:亩产量的平均增长率为20%. (2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到 1 200 kg,请通过计算说明他们的目标能否实现. 解:(2)1 008×(1+20%)=1 209.6(kg). ∵1 209.6>1 200,∴他们的目标能实现. 探究点二　列一元二次方程解决销售类问题 【例2】 某电商在平台上对一款成本价为30元的小商品进行销售,如果按每件40元销售,每月可卖出600件,通过市场调查发现,每件小商品售价每上涨1元,销售件数减少10件. (1)设每件商品售价定为x元(x≥40),请用含x的式子表示每月的销 售量. 解:(1)依题意,得若每个小商品售价上涨 (x-40) (x≥40)元, 则每月能售出600-10(x-40)=(1 000-10x)(个)小商品. (2)为了实现平均每月10 000元的销售利润,并使消费者得到实惠,(1)中的售价x应定为多少元? 解:(2)依题意,得(x-30)(1 000-10x)=10 000, 整理,得x2-130x+4 000=0, 解得x1=50,x2=80. 又∵使消费者得到实惠, ∴x=50. 答:(1)中的售价x应定为50元. 【新知巩固】 4.(2025青羊区月考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关 系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x(0≤x<8)株,则可以列出的方程是( ) A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(3+x)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 A 5.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利800元,每件应降价　 　元. 10 6.超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件. (1)若销售单价增加x元,则每天的销售量是　　　　　　　件(用含x的代数式表示).　  (2)超市销售这种玩具要想每天获利2 250元,试问销售单价应增加多少元? 谢谢观赏！ 17 (2)　 　=×100%=×100%;  (3)售价=进价×(1+　 　)=商品标价×折扣率;  (4)总利润=每件利润×　 　=总收入-总支出.  解:(1)(50-x) 解:(2)依题意,得(40+x)(-x+50)=2 250, 解得x1=50,x2=10. ∵每件利润不能超过60元, ∴x=10. 答:当销售单价增加10元时,超市每天销售这种玩具可获利润2 250元. $$