6.1　平行四边形的性质 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 6.1　平行四边形的性质 暑假巩固 一、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论： ①AO＝BO； ②OE＝OF； ③△EAM≌△FCN； ④△EAO≌△CNO. 其中正确的是(　　) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　) A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB 3.如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是(　　) A.1＜m＜11 B.2＜m＜22 C.10＜m＜12 D.5＜m＜6 4.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__________． 5.如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为13，则▱ABCD的两条对角线长度之和为________． 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠OAB＝90°，OC＝3 cm，AB＝4 cm，求BD, AD的长度． 7.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF. 二、平行四边形的对角相等 1.如图，平行四边形ABCD的顶点C在直线MN上．若∠1=50°，∠2=20°，则∠A的度数为（　　） A.80° B.110° C.130° D.150° 2.如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A.105° B.15° C.30° D.25° 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D．若∠E=55°，则∠A的度数是（　　） A.100° B.110° C.125° D.135° 4.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 5.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度． 6.如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 7.如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求 ∠AGB的度数． 三、求边长或坐标 1.如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.3 C. D.2 3.如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 4.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝________ cm. 5.如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 6.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 7.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 四、求周长或面积 1.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A.40 cm2 B.32 cm2 C.36 cm2 D.50 cm2 2.小明为了计算▱ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱ABCD的高的是（　　） A.BF B.GH C.DE D.BD 3.如图，E是平行四边形内任一点，若S▱ABCD=18，则图中阴影部分的面积是（　　） A.6 B.8 C.9 D.10 4.平行四边形的周长为24 cm，相邻两边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较短的边长为________ cm. 5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 7.如图，在▭ABCD中，P是CD边上一点，且AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，若AD=2.5，AP=4，求▱ABCD的面积. 北师大版八年级下册 6.1　平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论： ①AO＝BO； ②OE＝OF； ③△EAM≌△FCN； ④△EAO≌△CNO. 其中正确的是(　　) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】B 【解析】①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，∵∠E＝∠F，∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF，故②正确； ③由②知，△AOE≌△COF，则∠E＝∠F，AE＝CF.在△EAM与△FCN中，∠E＝∠F，AE＝CF，∠EAM＝∠FCN，∴△EAM≌△FCN(ASA)，故③正确； ④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，故△EAO和△CNO不全等，故④错误，即②③正确． 故选B. 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　) A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB 【答案】C 3.如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是(　　) A.1＜m＜11 B.2＜m＜22 C.10＜m＜12 D.5＜m＜6 【答案】A 【解析】在平行四边形ABCD中，则可得OA＝AC，OB＝BD，在△AOB中，由三角形三边关系可得OA－OB＜AB＜OA＋OB，即6－5＜m＜6＋5,1＜m＜11.故选A. 4.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__________． 【答案】42 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6， ∵△OCD的周长为27， ∴OD＋OC＝27－6＝21， ∵BD＝2DO，AC＝2OC， ∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2(DO＋OC)＝42. 5.如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为13，则▱ABCD的两条对角线长度之和为________． 【答案】16 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，AC＝2CO，BD＝2DO， ∵△OCD的周长为13， ∴CO＋DO＝13－5＝8， ∴AC＋BD＝2×8＝16. 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠OAB＝90°，OC＝3 cm，AB＝4 cm，求BD, AD的长度． 【答案】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝OC＝3 cm，AD＝BC， ∵AB⊥AC，AB＝4 cm， ∴BO＝＝5 (cm)， ∴BD＝2BO＝10 (cm)， ∵AC＝2OC＝6 (cm)，∠OAB＝90°， ∴BC＝＝＝2(cm)， ∴AD＝2 cm. 7.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF. 【答案】(1)解：如图所示. (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O， ∴OB＝OD，OA＝OC. 又∵E，F分别是OA,OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC， ∴OE＝OF. ∵在△BEO与△DFO中， OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD， ∴△BEO≌△DFO(SAS)， ∴BE＝DF. 二、平行四边形的对角相等 1.如图，平行四边形ABCD的顶点C在直线MN上．若∠1=50°，∠2=20°，则∠A的度数为（　　） A.80° B.110° C.130° D.150° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠BCD， ∵∠1=50°，∠2=20°， ∴∠BCD=180°-50°-20°=110°， ∴∠A=110°， 故选：B． 2.如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A.105° B.15° C.30° D.25° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°－∠B＝15°. 故选B. 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D．若∠E=55°，则∠A的度数是（　　） A.100° B.110° C.125° D.135° 【答案】C 【解析】∵EB⊥BC于点B，ED⊥CD于点D， ∴∠EBC=∠EDC=90°， ∵∠E=55°， ∴∠C=360°-∠CBE-∠CDE-∠E=125°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C=125°， 故选：C． 4.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 【答案】55° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C， 由折叠的性质，得∠D′AE＝∠C， ∴∠D′AE＝∠BAD， ∴∠D′AD＝∠BAE＝55°. 5.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度． 【答案】85 【解析】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD， ∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠B＝∠EAD， 在△ABC和△EAD中，AB＝EA，∠ABC＝∠EAD，BC＝AD， ∴△ABC≌△EAD(SAS)， ∴∠AED＝∠BAC. ∵AE平分∠DAB， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝85°， ∴∠AED＝∠BAC＝85°. 6.如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， ∵EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝∠AEB， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°. 7.如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求 ∠AGB的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 三、求边长或坐标 1.如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝5， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴DE＝AD－AE＝2. 故选D. 2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　) A.4 B.3 C. D.2 【答案】B 【解析】∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E， ∴AD∥BC，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC＝AB， ∵AD＝7，AE＝4， ∴AB=DE＝3. 故选B. 3.如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， ∴∠F＝∠DCF， ∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF， ∴∠F＝∠FCB， ∴BF＝BC＝8， 同理DE＝CD＝6， ∴AF＝BF－AB＝2，AE＝AD－DE＝2， ∴AE＋AF＝4；故选C. 4.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝________ cm. 【答案】2 【解析】∵▱ABCD中，AD∥BC, ∴∠ADE＝∠DEC, ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADE＝∠CDE, ∴∠DEC＝∠CDE,∴CD＝CE, ∵CD＝AB＝6 cm, ∴CE＝6 cm, ∵BC＝AD＝8 cm, ∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm). 5.如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴AD－DE＝BC－BF， ∴AE＝CF， ∵AE＝3， ∴CF＝3. 6.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵F是AD的中点， ∴FD＝AD.∵CE＝BC， ∴FD＝CE. 又∵FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形． ∴DE＝CF. (2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6. ∴∠DCE＝∠B＝60°. 在Rt△CDG中，∠DGC＝90°， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝2. 由勾股定理得DG＝＝2. ∵CE＝BC＝3， ∴GE＝1. 在Rt△DEG中，∠DGE＝90°， ∴DE＝＝. ∴AF∥CE. 7.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∵AF⊥BE， ∴BE=2BF， ∴BF=12， ∴AB===13， ∴AE=AB=13， ∴BC=AD=AE+DE=13+5=18. 四、求周长或面积 1.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A.40 cm2 B.32 cm2 C.36 cm2 D.50 cm2 【答案】A 【解析】∵▱ABCD的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝18 (cm)， ∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ∴4AB＝5BC， AB+AB=18(cm)，解得AB＝10 cm，BC＝8 cm， ∴▱ABCD的面积为AB·DE＝40 (cm2)． 故选A. 2.小明为了计算▱ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱ABCD的高的是（　　） A.BF B.GH C.DE D.BD 【答案】D 【解析】∵从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高， 由图可知，BD并不垂直于B点的对边CD， ∴BD不能表示▱ABCD的高， 故选：D． 3.如图，E是平行四边形内任一点，若S▱ABCD=18，则图中阴影部分的面积是（　　） A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB， 设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S阴影部分=S△EAD+S△ECB=AD•h1+CB•h2=AD(h1+h2)=S▱ABCD=9． 故选：C． 4.平行四边形的周长为24 cm，相邻两边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较短的边长为________ cm. 【答案】3 【解析】∵平行四边形的周长为24 cm， ∴AB＋BC＝24÷2＝12， ∵BC∶AB＝3∶1，∴AB＝3 cm. 5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点， ∴CD= AB=3，BC=AD=2BE=2EC=4，AB∥CD， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠BFE=∠CHE=90°，∠BEF=∠CEH， ∴△BEF≌△CEH（AAS）， ∴BF=CH， ∵AB=3，AD=4，∠ABC=60°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=CH=BE=1，根据勾股定理，得EF==，DH=DC+CH=4， ∴△DEF的面积是EF•DH=×4×=2， 故选：A． 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝CD. (2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝4， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF＝＝＝2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E， 在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)， ∴△ADF的面积＝△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4. 7.如图，在▭ABCD中，P是CD边上一点，且AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，若AD=2.5，AP=4，求▱ABCD的面积. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC，BC=AD=2.5， ∴∠DPA=∠BAP，∠CPB=∠ABP，∠DAB+∠CBA=180°， ∵AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA， ∴∠DAP=∠BAP=∠DAB，∠CBP=∠ABP=∠CBA， ∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，∠BAP+∠ABP=（∠DAB+∠CBA）=90°， ∴PD=AD=2.5，PC=BC=2.5，∠APB=90°， ∴AB=DC=2.5+2.5=5， ∵AP=4， ∴BP===3， ∴S△ABP=AP•BP=×4×3=6， ∴S▱ABCD=2S△ABP=2×6=12， 学科网（北京）股份有限公司 $$