第二十四章 圆(提升卷） 单元过关测试 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第 1页（共 6页） 第二十四章 圆(提升卷） 单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD是弦，连接 OD，若∠B＝3∠D＝3α，则∠BOD的度 数是（ ） A．3α B．4α C．90°﹣α D．180°﹣5α 2．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接 AC．若∠ADC＝115°，则∠BAC的度数为 （ ） A．15° B．23° C．25° D．30° 3．往直径为 26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽 AB＝24cm，则水的最大深 度为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 4．一个扇形的半径为 3，扇形的圆心角度数为 120°，则弧长为（ ） A．π B．2π C．3π D．6π 5．小聪用一张半径为 10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做 第 2页（共 6页） 成的圆锥形小丑帽子的底面周长为 12πcm，那么这张扇形纸板的面积是（ ） A．30πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2 6．如图，在平面直角坐标系中，点 P在第一象限，⊙P与 x轴，y轴都相切，且经过矩形 AOBC的顶点 C， 与 BC相交于点 D，若⊙P的半径为 3，点 B的坐标是（5，0），则点 D的坐标是（ ） A．(4，3 − 5) B．（5，3） C．(5， 5) D．(5，3 − 5) 7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O是△ABC的内切圆，连接 OA，OB，则 图中阴影部分的面积是（ ） A．π B． 4 3 � C． 3 2 � D． 5 3 � 8．如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是 1，顺次连接这些圆心得到五边形 ABCDE，则图中的阴影 部分面积之和为（ ） 第 3页（共 6页） A．π B． 3� 2 C．2π D． 5� 2 9．如图，点 I和 O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ） A．120° B．125° C．135° D．140° 10．如图，已知直线 PA交⊙O于 A、B两点，AE是⊙O的直径，点 C为⊙O上一点，且 AC平分∠PAE， 过 C作 CD⊥PA，垂足为 D，且 DC+DA＝12，⊙O的直径为 20，则 AB的长等于（ ） A．8 B．12 C．16 D．18 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．如图，在⊙O中，弦 AB∥CD，若∠ABC＝35°，则∠BOD＝ ． 12．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 ． 13．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若 AD＝6cm，∠BAC＝60°，则这个圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）． 14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 AC，若�� = 4 2，CD＝4，则 第 4页（共 6页） ∠A的度数为 ． 15．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，过 A、C分别作⊙O的切线，交于点 E，若∠ABC＝125°，则∠E 的度数为 ． 16．用半径为 3cm，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 cm． 17．如图，△ABC内接于⊙O，连接 OA，且 AC平分∠BAO，D是⊙O上一点，连接 CD，BD．若∠ACB ＝20°，则∠D的度数为 ． 18．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点 D在⊙O上，AD＝OA＝1，则图中阴影部分的面 积为 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 8分)老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复 杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，AB为 车轮⊙O的直径，过圆心 O的车架 AC一端点 C着地时，地面 CD与车轮⊙O相切于点 D，连接 AD， BD． 第 5页（共 6页） （1）小明猜想∠BDC＝∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点 C到车轮与地面的接触点 D之间的距离 2 3米，BC的长为 3米，求车轮的半径． 20．(本小题 8分)如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，AC平分∠EAB交⊙O于点 C，过点 C作 CD ⊥AE，交 AE的延长线于点 D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若 DC＝4，AE＝6，求⊙O的半径长． 21．(本小题 10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，以 AB为直径作⊙O，与 AC相交于点 D．连接 OC，与 ⊙O相交于点 E． （1）如图 1，连接 DE，求∠ADE的度数； （2）如图 2，若点 D为 AC的中点，且 AC＝6，求��的长． 第 6页（共 6页） 22．(本小题 10分)如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若 AB= 2，AD＝1，求 CD的长度． 23．(本小题 10分)如图 1，BD是⊙O的直径，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，连接 OA，CD． （1）求证：AO∥CD； （2）如图 2，过点 D作 DF∥CA，分别交 AO，AB于 E，F两点，若 AF＝1，AC＝4，求⊙O的半径． 24．(本小题 10分)如图，CD是⊙O的直径，AE⊙O相切于点 B，连接 BC、BD，过圆心 O作 OE∥BC， 连接 EB并延长，交 DC延长线于点 A． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若 F是 OE的中点，⊙O的半径为 2，求阴影部分的面积． 第二十四章 圆(提升卷） 单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD是弦，连接OD，若∠B＝3∠D＝3α，则∠BOD的度数是（　　） A．3α B．4α C．90°﹣α D．180°﹣5α 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC．若∠ADC＝115°，则∠BAC的度数为（　　） A．15° B．23° C．25° D．30° 3．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 4．一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为120°，则弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．6π 5．小聪用一张半径为10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是（　　） A．30πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2 6．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴，y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为3，点B的坐标是（5，0），则点D的坐标是（　　） A． B．（5，3） C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B． C． D． 8．如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形ABCDE，则图中的阴影部分面积之和为（　　） A．π B． C．2π D． 9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 10．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝35°，则∠BOD＝　 　 ． 12．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 　 　 ． 13．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD＝6cm，∠BAC＝60°，则这个圆锥的侧面积为 　 　 cm2．（结果保留π）． 14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC，若，CD＝4，则∠A的度数为 　 　 ． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A、C分别作⊙O的切线，交于点E，若∠ABC＝125°，则∠E的度数为 　 　 ． 16．用半径为3cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是　 　 cm． 17．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，且AC平分∠BAO，D是⊙O上一点，连接CD，BD．若∠ACB＝20°，则∠D的度数为　 　 ． 18．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝1，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD． （1）小明猜想∠BDC＝∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，BC的长为3米，求车轮的半径． 20．本小题分如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，AC平分∠EAB交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DC＝4，AE＝6，求⊙O的半径长． 21．本小题分如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 22．本小题分如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB，AD＝1，求CD的长度． 23．本小题分如图1，BD是⊙O的直径，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，连接OA，CD． （1）求证：AO∥CD； （2）如图2，过点D作DF∥CA，分别交AO，AB于E，F两点，若AF＝1，AC＝4，求⊙O的半径． 24．本小题分如图，CD是⊙O的直径，AE⊙O相切于点B，连接BC、BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点A． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若F是OE的中点，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B B D C B D B 一．选择题（共10小题） 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，CD是弦，连接OD，若∠B＝3∠D＝3α，则∠BOD的度数是（　　） A．3α B．4α C．90°﹣α D．180°﹣5α 【解答】解：如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝3α， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠D＝α， ∴∠DCB＝∠OCB﹣∠OCD＝3α﹣α＝2α， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠DCB＝4α， 故选：B． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC．若∠ADC＝115°，则∠BAC的度数为（　　） A．15° B．23° C．25° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠ADC＝115°， ∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣115°＝65°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°， 故选：C． 3．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝24cm， ∴BDAB＝12（cm）， ∵⊙O的直径为26cm， ∴OB＝OC＝13（cm）， 在Rt△OBD中，OD5（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm）， 即水的最大深度为8cm， 故选：C． 4．一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为120°，则弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．6π 【解答】解：∵扇形的半径是3，圆心角的度数是120°， ∴弧长为2π． 故选：B． 5．小聪用一张半径为10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是（　　） A．30πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2 【解答】解：根据题意，这张扇形纸板的面积12π×10＝60π（cm2）． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴，y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为3，点B的坐标是（5，0），则点D的坐标是（　　） A． B．（5，3） C． D． 【解答】解：设⊙P与x轴、y轴分别相切于点E、点F，连接并延长FP交BC于点H，连接PD、PE， ∵四边形AOBC是矩形， ∴BC∥OA，∠OBC＝90°， ∵OB⊥PE，OA⊥PF， ∴∠OFP＝∠OEP＝∠PEB＝∠EOF＝90°，∠PHB＝∠PFA＝90°， ∴四边形PEOF和四边形PEBH都是矩形， ∵⊙P的半径为3，点B的坐标是（5，0）， ∴PD＝PE＝PF＝OE＝BH＝3，OB＝5， ∴PH＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， ∴DH， ∴BD＝BH﹣DH， ∴D（5，）， 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B． C． D． 【解答】解：设⊙O与AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，连接OC、OE、OF、OG， ∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13，∠CAB+∠CBA＝90°， 设OE＝OF＝OG＝r，OA交⊙O于点L，OB交⊙O于点K， ∵S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，且OE⊥AC，OF⊥BC，OG⊥AB， ∴5r12r13r5×12， 解得r＝2， ∵∠OAB＝∠OAC∠CAB，∠OBA＝∠OBC∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°，即∠LOK＝135°， ∴S阴影， 故选：C． 8．如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形ABCDE，则图中的阴影部分面积之和为（　　） A．π B． C．2π D． 【解答】解：五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 【解答】解：∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB＝2∠C， ∴∠C∠AOB， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°（∠CAB+∠CBA）， ＝180°（180°﹣∠C） ＝90°∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠AIB＝90°∠AOB， ∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°． ∵∠AIB＝125°， ∴∠AOB＝140°． 故选：D． 10．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝35°，则∠BOD＝　70°　 ． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠ABC＝35°， ∴∠BOD＝2∠C＝2×35°＝70°． 故答案为：70°． 12．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 　2：　 ． 【解答】解：设正六边形的半径是r， 则外接圆的半径r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：． 故答案为：2：． 13．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD＝6cm，∠BAC＝60°，则这个圆锥的侧面积为 　24π　 cm2．（结果保留π）． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， 在Rt△ABD中， ∵AD＝6cm， ∴BD＝AD•tan∠BAD＝62（cm）， ∴AB＝2BD＝4（cm）， ∴这个圆锥的侧面积为24π＝24π（cm2）， 故答案为：24π． 14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC，若，CD＝4，则∠A的度数为 　22.5°　 ． 【解答】解：连接OC， ∵直径AB⊥CD， ∴CECD4＝2， ∵， ∴OCAB＝2， ∴OE2， ∴CE＝OE， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴∠COE＝45°， ∴∠A∠COE＝22.5°． 故答案为：22.5°． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A、C分别作⊙O的切线，交于点E，若∠ABC＝125°，则∠E的度数为 　70°　 ． 【解答】解：连结OA、OC，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣125°＝55°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝110°， ∵EA、EC为⊙O的切线， ∴OA⊥AE，OC⊥CE， ∴∠OAE＝∠OCE＝90°， ∴∠E+∠AOC＝180°， ∴∠E＝180°﹣110°＝70°． 故答案为：70°． 16．用半径为3cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是　1　 cm． 【解答】解：由题知， 扇形的弧长为：（cm）． 令圆锥的底面圆的半径为r cm， 则2πr＝2π， 解得r＝1， 即这个圆锥的底面圆的半径是1cm． 故答案为：1． 17．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，且AC平分∠BAO，D是⊙O上一点，连接CD，BD．若∠ACB＝20°，则∠D的度数为　35°　 ． 【解答】解：如图，连接OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝40°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝2∠OBA（180°﹣40°）＝70°， ∵AC平分∠BAO， ∴∠CAB∠OAB＝35°， 由圆周角定理得：∠D＝∠CAB＝35°， 故答案为：35°． 18．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝1，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：记CD与⊙O的交点为点E，连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD＝OA＝1， ∴AD＝AO＝DO， ∴△AOD是等边三角形， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB， ∴∠CDO＝∠DOA＝60°，∴△ODE是等边三角形， 同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于△BCE面积， ∵，DE＝EC＝1， ∴图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 19．老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD． （1）小明猜想∠BDC＝∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，BC的长为3米，求车轮的半径． 【解答】解：（1）小明的猜想正确， 连接OD， ∵CD与⊙O相切， ∴OD⊥CD， ∴∠ODB+∠BDC＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠OBD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠A＝∠BDC； （2）设车轮的半径为r，则OC＝r+3， ∵CD＝2米， ∴， 解得． 答：车轮的半径为米． 20．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，AC平分∠EAB交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DC＝4，AE＝6，求⊙O的半径长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠EAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵AO＝CO， ∴∠ACO＝∠BAC（等边对等角）， ∴∠ACO＝∠DAC， ∴OC∥AD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ADC+∠DCO＝180°， ∵CD⊥AE， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DCO＝90°， ∵OC为半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过O作OF⊥AE于F， ∵OF⊥AE，AE＝6， ∴，∠DFO＝90°， ∵∠ADC＝∠DCO＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OF＝DC＝4， ∵AO2＝OF2+AF2， ∴AO2＝32+42， ∴AO＝5， 即⊙O的半径长为5． 21．如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【解答】解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB，AD＝1，求CD的长度． 【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）在Rt△ABC中，AB＝BC， ∴AC＝2， 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2， ∴CD． 即CD的长为：． 23．如图1，BD是⊙O的直径，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，连接OA，CD． （1）求证：AO∥CD； （2）如图2，过点D作DF∥CA，分别交AO，AB于E，F两点，若AF＝1，AC＝4，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵AB，AC是⊙O的切线， ∴OC⊥AC，OB⊥AB，∠CAO＝∠BAO， ∴∠AOC＝∠AOB， 由圆周角定理得：∠D∠COB， ∴∠D＝∠AOB， ∴AO∥CD； （2）解：∵AB，AC是⊙O的切线，AC＝4， ∴AB＝AC＝4， ∴BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3， ∵AO∥CD，DF∥CA， ∴四边形ACDE为平行四边形，∠CAE＝∠AEF， ∴DF＝AC＝4， ∵∠CAE＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∴EF＝AF＝1， ∴DF＝4+1＝5， 由勾股定理得：DB4， ∴⊙O的半径为2． 24．如图，CD是⊙O的直径，AE⊙O相切于点B，连接BC、BD，过圆心O作OE∥BC，连接EB并延长，交DC延长线于点A． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若F是OE的中点，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∵OE∥BC， ∴∠BGE＝∠CBD＝90°， ∴∠E+∠EBG＝90°， ∵AE与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AE， ∴∠OBD+∠EBG＝90°， ∴∠E＝∠OBD， ∵OB＝OD， ∴∠D＝∠OBD， ∴∠D＝∠E； （2）解：如图，连接BF， ∵∠OBE＝90°，F是OE的中点， ∴BE＝OF， ∵OB＝OF， ∴OB＝OF＝BF， ∴△OBF是等边三角形， ∴∠BOE＝∠OBF＝60°， ∵∠OGD＝90°，即OF⊥BD， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/16 12:42:52；用户：殷伟榕；邮箱：13372093358；学号：49327560 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$