2.1　认识一元二次方程 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.1　认识一元二次方程 一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？ 一元二次方程 探究1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) ( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ① 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) 探究2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　 根据题意，可得方程：　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 5 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 　　　m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m , 根据题意，可得方程： 探究3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？ 6 (x+6) 72 + (x + 6)2 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10m 8m 1 m x m 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 归纳总结 方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的概念 ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 一元二次方程的一般形式 ax2是二次项， a是二次项的系数， bx是一次项， b是一次项系数， c是常数项． 例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？(1) 7x2－6x＝0；　　　(2) 2x2－5xy＋6y＝0；(3) 2x2－ －1＝0; (4) ＝0；(5) x2＋2x－3＝1＋x2. 【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定． 解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项． 关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k_______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程． 【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程． 例2 ≠±1 ＝－1 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 未知数的最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 1. 下列方程一定属于一元二次方程的是（　D　） A. x2＋y－2＝0 B. ＋x2＝1 C. ax2＋bx＋c＝0 D. （x－1）（x＋2）＝1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 把方程3x2＋x＝2（x－2）化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常 数，a≠0）的形式，则a，b，c的值分别为（　B　） A. 3，1，4 B. 3，－1，4 C. 3，－1，－4 D. 3，4，－1 3. 若关于x的一元二次方程（a＋1）x2＋2x＋a2－1＝0的常数项为0， 则a的值为（　B　） A. ±1 B. 1 C. －1 D. 0 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问 题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔各几步？” 其大意是矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长和宽各 几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　C　） A. x· ＝864 B. x（60＋x）＝864 C. x（60－x）＝864 D. x（30－x）＝864 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，要在一块长为32m、宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的 道路，剩余的空地上种植草坪，且草坪的面积为570m2.若设道路的宽为 xm，则可列方程为（　A　） A. （32－2x）（20－x）＝570 B. 32x＋2×20x＝32×20－570 C. （32－x）（20－x）＝32×20－570 D. 32x＋2×20x－2x2＝570 第5题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 有下列方程：① x2＝4；② 2x2＋y＝5；③ ＋x＝4；④ x（x＋5） ＝x2－2x；⑤ 3x3－4x2－1＝0；⑥ 2x＋1＝0.其中，是一元二次方程的 有 （填序号）. ①　 7. 两个相邻偶数的积是168，其中较大的数是x，则可列方程为 ⁠ （写成一般形式）. x2－ 2x－168＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 若方程（m＋2）x｜m｜＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则实 数m的值为 ⁠. 9. 将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.根据容积列出图中x满足的一元二次方程为 （不必化简）. 2　 15x（20÷2－x）＝360　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （18分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数和常数项. （1） 3x2－1＝2x； 解：（1） 3x2－1＝2x，移项，得3x2－2x－1＝0.二次项系数为3，一 次项系数为－2，常数项为－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） x（x－2）＝4x2－3x； （2） x（x－2）＝4x2－3x，去括号，得x2－2x＝4x2－3x，移项、 合并同类项，得－3x2＋x＝0，整理，得3x2－x＝0.二次项系数为3， 一次项系数为－1，常数项为0 （3） 关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p（m＋n≠0）. （3） mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p（m＋n≠0），移项、合并同类 项，得（m＋n）x2＋（m－n）x＋p－q＝0，二次项系数为m＋ n，一次项系数为m－n，常数项为p－q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知关于x的方程（m2－1）x2－（m＋1）x＋m＝0， 完成下面各题. （1） 当x为何值时，此方程是一元一次方程？ 解：（1） 由题意，得 解得m＝1.即当m＝1时，方程 （m2－1）x2－（m＋1）x＋m＝0是一元一次方程－2x＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 当x为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的 二次项系数、一次项系数及常数项. （2） 由题意，得m2－1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，方程 （m2－1）x2－（m＋1）x＋m＝0是一元二次方程.此方程的二次项系 数是m2－1，一次项系数是－（m＋1），常数项是m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$