第01讲集合及其表示方法（知识清单+10题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第01讲集合及其表示方法 内容预览 知识清单 知识点01：集合的含义 2 知识点02：元素与集合 2 知识点03：集合的表示方法与分类 2 题型讲解 题型01 判断元素能否构成集合 4 题型02 判断元素与集合的关系 5 题型03 元素的互异性及其应用 5 题型04 根据集合中元素的个数求参数 6 题型05 利用集合中元素的性质求集合元素个数 6 题型06 空集、有限集、无线集 7 题型07 判断两个集合是否相等 8 题型08 描述法表示集合 8 题型09 列举法表示集合 9 题型10 区间的定义与表示 9 强化训练 9 知识清单 知识点01：集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 知识点02：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 知识点03：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 3.常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 4.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 题型讲解 题型01 判断元素能否构成集合 【例1】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）不列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【变式2】（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 题型02 判断元素与集合的关系 【例2】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）集合，则 .（用“”或“”连接） 题型03 元素的互异性及其应用 【例3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【例3-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【变式3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【变式4】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 题型04 根据集合中元素的个数求参数 【例4】（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 题型05 利用集合中元素的性质求集合元素个数 【例5】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）集合是正整数，中的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）对正整数n，记，，则集合中元素的个数为 【变式2】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）集合中的元素个数为 个. 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 题型06 空集、有限集、无线集 【例6】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【变式1】用适当的符号填空：0 . 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 题型07 判断两个集合是否相等 【例7】（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 【变式2】设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 题型08 描述法表示集合 【例8】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 题型09 列举法表示集合 【例9】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 题型10 区间的定义与表示 【例10】（23-24高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【变式1】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 二、填空题 4．（23-24高一上·上海静安·期中）0 N（选填“”或“∉”） 5．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，若，则实数 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若恰有两个元素，则这两个元素的和为 . 10．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 11．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 12．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素，将与105互素的所有正整数组成集合，且，则 . 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，其中元素均为有理数，集合，求 . 三、解答题 15．（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 16．用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且. (1)哪个数一定是S中的元素？说明理由； (2)若S是有限集，求S； (3)若S中最小的正数为5，求S. 19．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合； (1)判断元素7是否属于，并说明理由； (2)已知实数，证明：； (3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论； 20．若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则； (3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲集合及其表示方法 内容预览 知识清单 知识点01：集合的含义 2 知识点02：元素与集合 2 知识点03：集合的表示方法与分类 2 题型讲解 题型01 判断元素能否构成集合 4 题型02 判断元素与集合的关系 6 题型03 元素的互异性及其应用 8 题型04 根据集合中元素的个数求参数 11 题型05 利用集合中元素的性质求集合元素个数 12 题型06 空集、有限集、无线集 16 题型07 判断两个集合是否相等 19 题型08 描述法表示集合 20 题型09 列举法表示集合 22 题型10 区间的定义与表示 24 强化训练 25 知识清单 知识点01：集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 知识点02：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 知识点03：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 3.常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 4.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 题型讲解 题型01 判断元素能否构成集合 【例1】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）不列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、方程与不等式 【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 【变式2】（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 题型02 判断元素与集合的关系 【例2】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合之间的关系解题. 【详解】N为自然数集，则. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合. 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）集合，则 .（用“”或“”连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可. 【详解】当时，有，满足. 所以. 故答案为： 题型03 元素的互异性及其应用 【例3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例3-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据集合元素的互异性可以得出答案 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合元素互异性可求解. 【详解】若，若，则，故不满足集合元素互异性， 所以，解之可得或（舍），-1适合题意， 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 题型04 根据集合中元素的个数求参数 【例4】（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得， 综上，或. 故答案为：或 【变式2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 题型05 利用集合中元素的性质求集合元素个数 【例5】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）集合是正整数，中的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】利用列举法求得正确答案. 【详解】依题意是正整数，， ；； ；（不符合）； ；； （不符合）；； ；（不符合）； ；； （不符合）；（不符合）. 取其它正整数值时，均不符合题意， 所以集合的元素有个. 故选：C 【变式1】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）对正整数n，记，，则集合中元素的个数为 【答案】46 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意一一列举，重复出现的不重复计数即可. 【详解】当时，，， 1.当时，因为，所以可取的值有； 2. 当时，因为，所以可取的值有； 3. 当时，因为，所以可取的值有； 4. 当时，因为，所以可取的值有； 5. 当时，因为，所以可取的值有； 6. 当时，因为，所以可取的值有； 7. 当时，因为，所以可取的值有； 其中重复出现的有1,2,3， 所以共有可能取值为个. 故答案为:46. 【变式2】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）集合中的元素个数为 个. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据元素为整数求得正确答案. 【详解】由于， 所以， 则，共个元素. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 题型06 空集、有限集、无线集 【例6】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 【变式1】用适当的符号填空：0 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】结合空集、元素与集合的关系确定正确答案. 【详解】空集没有任何元素，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集，也为有限集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 题型07 判断两个集合是否相等 【例7】（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性. 【详解】集合，，且，则有，解得或， 当，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 符合题意. 故答案为：1 【变式2】设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 题型08 描述法表示集合 【例8】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据被整除余的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除的商为，余数为， 可表示为， 所以被除余的自然数组成的集合为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 题型09 列举法表示集合 【例9】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】首先写出能整除的正整数，然后用列举法写成集合的形式. 【详解】因为能整除的正整数有， 所以“能整除 9 的所有正整数”组成的集合为. 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】利用列举法来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以和都是自然数， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 题型10 区间的定义与表示 【例10】（23-24高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】区间的定义与表示 【分析】由区间的书写形式即可求解． 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【变式1】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】区间的定义与表示 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】区间的定义与表示 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【分析】根据集合的定义与整除的概念判断. 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 3．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 二、填空题 4．（23-24高一上·上海静安·期中）0 N（选填“”或“∉”） 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系填空即可. 【详解】N是自然数集，包括0，所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】根据集合描述列举出集合元素，即可得答案. 【详解】由且，则,或， 解得的值为，所以. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，若，则实数 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，可得答案. 【详解】将代入，则，由题意可得. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若恰有两个元素，则这两个元素的和为 . 【答案】3 【分析】利用根与系数的关系进行求解即可. 【详解】由恰有两个元素， 则方程有两个不相等的实根， 因此利用根与系数的关系可知方程两根之和，即集合两个元素的和为， 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为 . 【答案】（2） 【分析】由集合的定义逐个判断即可. 【详解】若，则不能作为分母，故，（1）正确； 当时，，所以，故（2）错误； 当时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（2） 12．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素，将与105互素的所有正整数组成集合，且，则 . 【答案】202 【分析】先求得前105个数中有多少个数与105互质，进而可求得第100个与105互质的数. 【详解】由题意知，不可以是3，5，7的倍数， 所以在前105个正整数中与105互素的整数个数为： ， 故不超过105而与105互质的正整数有48个． 故在第二轮的105个数中仍然有48个与105互质的正整数． 在前105个数中前4个与105互质的数为1，2，4，8， 故按照从小到大排列后可知. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，其中元素均为有理数，集合，求 . 【答案】或 【分析】观察分析得的绝对值互不相等，从而得到关于关于的表述式，进而得到关于的方程组，解之再进行检验即可得解. 【详解】观察中的六个数，其中没有互为相反数， 由此知的绝对值互不相等， 不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别是及， 最大的与次大的两个数分别是及， 从而有，于是， 故， 则或，解得或， 结合，只可能是， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 故或. 故答案为：或. 三、解答题 15．（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性原则分类讨论即可. 【详解】分情况讨论： ①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则； ②若，则，，， 此时，符合题意； ③若，则或， 当时，，，不符合集合元素的互异性原则； 当时，，，不符合集合元素的互异性原则. 综上：. 16．用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据区间的定义即可求解； （2）求解一元一次不等式，即可由区间定义求解. 【详解】（1），故集合可用区间表示； （2）由可得，所以不等式的解集为，即用区间表示为. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且. (1)哪个数一定是S中的元素？说明理由； (2)若S是有限集，求S； (3)若S中最小的正数为5，求S. 【答案】(1)0一定是中的元素，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用新定义判断即可得解； （2）假设中有非零元素，利用新定义推出矛盾即可得解； （3）先判断得5的正整数倍一定是中元素，再假设中有形如的元素，利用新定义推得也是的元素，从而得到矛盾，进而得解. 【详解】（1）（1）数字0一定是中的元素，理由如下： 若，则，，即. （2）因为为有限非空数集， 假设中有非零元素， 则有形如的所有实数都是的元素，与是有限集矛盾， 所以. （3）因为中最小的正数为5，则5的正整数倍一定是中元素， 又，故当时，， 故所有形如的数都是的元素， 假设中有形如的元素，那么， 这与中最小正整数5矛盾， 综上，. 19．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合； (1)判断元素7是否属于，并说明理由； (2)已知实数，证明：； (3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论； 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析. 【分析】（1）由题设且，讨论、对应值，求出参数，判断是否满足即可； （2）假设，讨论分解的可能组成，讨论、求，结合即可证结论； （3）令且，研究是否为两个整数的平方差形式，即可得结果. 【详解】（1）若，则，又， 所以或或或， 解得或或或，显然满足要求， 所以. （2）若，则，而可分解为一个奇数与偶数的乘积形式， 不妨令或或或， 解得或或或，，显然不符合， 所以. （3），证明如下： 由，即，且， 所以 ， 显然、，故. 20．若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则； (3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有. 【答案】(1)A不是“好集”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义验证，从而可说明集合不是“好集”； （2）根据定义由，，得到，从而可得到； （3）分x，y为0或1和x，y均不为0且不为1两种情况，根据定义分别证明若x，，则，进而利用（2）的结论，证明，和，最后有. 【详解】（1）集合不是“好集”，理由是，，而， 所以不是“好集”； （2）因为集合是“好集”，所以， 若，则，即， 所以，即； （3）对任意一个“好集”A，任取x、； 若x、y中有0和1时，显然； 下设x、y均不含0，1，由定义得，，， 所以，所以， 由（2）得，同理， 若或，显然； 若，且，则； 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$