22.2 二次函数与一元二次方程 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习） 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数与一元二次方程的关系 1. 代数关系 二次函数 的关系： 方程的解是函数图像与x轴交点的横坐标 若方程有两个不相等的实数根1, 2，则函数图像与x轴有两个交点(1, 0)和 (2, 0)。 若方程有两个相等的实数根 1 = 2，则函数图像与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。 若方程无实数根，则函数图像与x轴无交点。 2. 判别式与交点个数 对于 二、二次函数图像与一元二次方程的解法 1. 图像法解一元二次方程 画出二次函数 的图像，找到图像与x轴交点的横坐标，即为方程的解。 局限性：结果为近似值，需结合代数法精确求解。 2. 代数法解一元二次方程 求根公式：。 因式分解法：若 。 配方法：通过配方将方程化为 的形式，再开平方求解。 三、二次函数与一元二次方程的实际应用 1. 求最值问题 二次函数顶点的横坐标对应函数取得最值时的x值，可通过方程 2. 几何图形问题 例如：矩形面积与边长的关系、抛物线形桥梁的高度计算等，需根据题意建立二次函数模型，转化为方程求解。 3. 运动轨迹问题 物体抛出后的高度与时间的关系（如自由落体、斜抛运动）常表示为二次函数，通过解方程求落地时间或最大高度。 四、易错点与注意事项 1. 符号问题 使用求根公式时，注意 。 二次函数一般式中。 2. 实际问题的定义域 求解实际问题时，需根据题意限制x的取值范围（如长度、时间不能为负）。 3. 交点与方程解的对应关系 区分“函数与x轴交点”“函数与y轴交点”“两函数图像交点”的不同求解方法。 五、典型例题 1. 已知二次函数图像与x轴交点坐标，求解析式 例：若抛物线 。 解：代入交点得方程组 。 2. 利用判别式判断函数图像与x轴交点个数 例：判断函数。 解：。 巩固练习 一、选择题 1．已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是(　　). A．-1<a<0 B．a<-1 C． D． 3．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 4．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 8．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　． 10．二次函数 的图象如图所示， 若一元二次方程 有实数根， 则 的最大值为　 　. 11．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 　 　． 12．下列表格是二次函数 中x，y的部分对应值，则一元二次方程 的一个近似解是　 　.（精确度0.1） 13． 如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 　 　． 14．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为　 　． 三、解答题 15．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）. （1）求该函数的关系式； （2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标. 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线 于点B、C，求BC的长. 17．在平面直角坐标系中，与轴交于点． （1）求点的坐标以及抛物线的对称轴； （2）抛物线与直线交于点，，其中 ①当时，求抛物线的表达式； ②当时，请直接写出的取值范围． 18．如图，已知抛物线是常数且，对称轴为直线 （1）求抛物线与轴交点的另一坐标； （2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据图象直接写出的取值范围为　 　 ； （3）当时，的取值范围为　 　 ，若点，，都在该抛物线上，用“”连接，和得　 　 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线（）经过点，，. （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点，当时，求点的坐标. 20．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值； （3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 二次函数与一元二次方程 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数与一元二次方程的关系 1. 代数关系 二次函数 的关系： 方程的解是函数图像与x轴交点的横坐标 若方程有两个不相等的实数根1, 2，则函数图像与x轴有两个交点(1, 0)和 (2, 0)。 若方程有两个相等的实数根 1 = 2，则函数图像与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。 若方程无实数根，则函数图像与x轴无交点。 2. 判别式与交点个数 对于 二、二次函数图像与一元二次方程的解法 1. 图像法解一元二次方程 画出二次函数 的图像，找到图像与x轴交点的横坐标，即为方程的解。 局限性：结果为近似值，需结合代数法精确求解。 2. 代数法解一元二次方程 求根公式：。 因式分解法：若 。 配方法：通过配方将方程化为 的形式，再开平方求解。 三、二次函数与一元二次方程的实际应用 1. 求最值问题 二次函数顶点的横坐标对应函数取得最值时的x值，可通过方程 2. 几何图形问题 例如：矩形面积与边长的关系、抛物线形桥梁的高度计算等，需根据题意建立二次函数模型，转化为方程求解。 3. 运动轨迹问题 物体抛出后的高度与时间的关系（如自由落体、斜抛运动）常表示为二次函数，通过解方程求落地时间或最大高度。 四、易错点与注意事项 1. 符号问题 使用求根公式时，注意 。 二次函数一般式中。 2. 实际问题的定义域 求解实际问题时，需根据题意限制x的取值范围（如长度、时间不能为负）。 3. 交点与方程解的对应关系 区分“函数与x轴交点”“函数与y轴交点”“两函数图像交点”的不同求解方法。 五、典型例题 1. 已知二次函数图像与x轴交点坐标，求解析式 例：若抛物线 。 解：代入交点得方程组 。 2. 利用判别式判断函数图像与x轴交点个数 例：判断函数。 解：。 巩固练习 一、选择题 1．已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得， 解得， ∵该二次函数的开口向上，对称轴为直线，且只经过三个象限， ∴，即， ∴m的取值范围为； 故答案为：A 【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程根的判别式得到，从而得到，再根据二次函数的图象即可得到该二次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点，进而求出，从而即可求解。 2．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是(　　). A．-1<a<0 B．a<-1 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知：x1x2=6>0， ∵x1<1<x2， ∴0<x1<1<x2， 设y=ax2+(a+1)x+6a 令x=0代入y=ax2+(a+1)x+6a 可得：y=6a， 令x=1代入y=ax2+(a+1)x+6a ∴可得：y=8a+1， ∴6a(8a+1)<0， 解得：， 故答案为：C. 【分析】根据题意可知：0<x1<1<x2，利用二次函数图象的性质即求出a的范围即可. 3．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】B 【解析】【解答】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，∴，即， ∴根的情况变为时求x的值， 由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【分析】判断二元一次方程根的情况，实质是判断抛物线与直线的交点情况。 4．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】【解答】解：∵x2+bx=3， ∴x2+bx-3=0， ∴当y=0时，x=3， 即方程x2+bx=3的其中一个解是x=3， 故答案为：B. 【分析】根据表格中的数据，即可求解. 5．已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∵， ∴， ∵二次函数 的图像的顶点在第二象限， ∴且， 将，代入上式得： ，解得． 故答案为：B． 【分析】把代入可得，代入可得，，然后根据二次函数顶点的位置可得且解不等式即可． 6．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：观察函数的图象可知， 图象与直线有3个交点， ∴方程的实数根有3个. 故答案为：C. 【分析】从图象角度看，求方程的实数根，就是求函数的图象与直线y=1交点的个数，结合图象，即可得出答案. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【答案】A 【解析】【解答】解：∵二次函数，正比例函数， ∴令，得， ∴方程两根的值即为二次函数与正比例函数的交点横坐标的值， 设的两根分别为， ∴由函数图象可知， 故答案为：A. 【分析】先得到方程两根的值即为二次函数与正比例函数的交点横坐标的值，然后结合函数图象可知该方程的两根之和大于0. 8．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 【分析】 ①由二次函数图象的开口向下知a为负，对称轴在y轴右侧知b为正，由抛物线交y轴于正半轴知c为正，则abc<0； ②将点代入函数解析式可得，即； ③由二次函数的对称性可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到； ④由对称轴为直线，得到，，将代入函数得，即抛物线的顶点坐标为，显然当时，该抛物线与直线的图象无交点． 二、填空题 9．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　． 【答案】且 【解析】【解答】解：根据题意可知：且， 解得：且， 故答案为：且． 【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得且，再求解即可. 10．二次函数 的图象如图所示， 若一元二次方程 有实数根， 则 的最大值为　 　. 【答案】7 【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=-m有交点， 由图象得，-m≥-7，解得m≤7， ∴m的最大值为7， 故答案为：7. 【分析】先根据抛物线的开口向上可知a>0，由顶点纵坐标为-7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可. 11．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点是， ∴关于x的一元二次方程的两根为：． 故答案为：． 【分析】 观察图象知抛物线交x轴的负半轴于（-1，0），而对称轴为直线x=1，则由二次函数的对称性知另一个交点坐标为（3，0），即给定方程的两根分别为． 12．下列表格是二次函数 中x，y的部分对应值，则一元二次方程 的一个近似解是　 　.（精确度0.1） 【答案】6.2 【解析】【解答】解：当x=6.2时，y=-0.1；当x=6.3时，y=0.2. ∵-0.1更接近于0， ∴一元二次方程 的一个近似解是6.2， 故答案为：6.2. 【分析】观察表格可知，当x=6.2时，y=-0.1更接近于0，即可得出一元二次方程 的一个近似解是6.2. 13． 如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解：在分式方程两边同乘以得：， ， 由题意得：，且，为整数， 的值为：1，3，8，，5，0，4， 二次函数， ，且△， 解得：且， 的值为：1，，0，3， 所有整数的和为：0， 故答案为：0． 【分析】先解分式方程，利用分式方程有整数解求出的整数值，再根据二次函数与轴有交点求出的取值范围，综合求解即可． 14．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为　 　． 【答案】x=-1或x=3 【解析】【解答】解：由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为-1和3， ∵当x=-1或x=3时，y1=y2， ∴关于x的方程x2+bx+c=mx+n的解为x=-1或x=3． 故答案为：x=-1或x=3． 【分析】由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为-1和3，即当x=-1或x=3时，y1=y2，即可求解. 三、解答题 15．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）. （1）求该函数的关系式； （2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标. 【答案】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)， ∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4， 又∵抛物线过点C(0，-3)， ∴-3=a(0−1)2−4， 解得a=1， ∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4， 即y=x2−2x−3； （2）解：令y=0，得：x2， 解得，. 所以坐标为A（3，0），B（-1，0）. 【解析】【分析】（1）由顶点D的坐标为（1，-4），设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可； （2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线 于点B、C，求BC的长. 【答案】解：BC=6 【解析】【解答】解：当x=0时，y=0+3=3 ∴点A（0，3） 又∵BC∥x轴 ∴点B、C的纵坐标都是3 ∴ 解，得 x=±3 ∴B（-3，3），C（3，3） ∴BC=3-（-3）=6. 【分析】先求出抛物线y=ax2+3与y轴的交点A的坐标是（0，3），则B、C的纵坐标都是-3，将y=-3代入y=x2求出B、C的坐标，进而可求线段BC的值。 17．在平面直角坐标系中，与轴交于点． （1）求点的坐标以及抛物线的对称轴； （2）抛物线与直线交于点，，其中 ①当时，求抛物线的表达式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意得，点的横坐标为， ∴， 故点的坐标是， 抛物线的对称轴为：直线 （2）解：①根据题意得，坐标点，，，即， ∴，即， ∴， ∴，， 解方程组得，，即，， 将x₁，x₂代入两根积，得，， 故抛物线得解析式是； ②或 【解析】【分析】⑴、求抛物线与y轴的交点，利用y轴上点的特点横坐标为0，代入求解即可；抛物线是一般式利用对称轴直线方程求解。 ⑵、①抛物线与直线y=2的交点，所以纵坐标是2，代入二次函数解析式，利用根与系数的关系表达两根和与两根积；又BC=4，可以表达两根差；两根和与两根差组成二元一次方程组求解两根，再代入两根积求a的值，从而求得抛物线解析式。 ②、把两根和为2代入不等式可得x2≤3，由求根公式解得方程两根（含a的代数式表示），选择其中较大根列不等式求解；两根大小与a的正负有关，所以分类讨论，且a的取值要使二次根式有意义；综合所有条件可得a的取值范围。 18．如图，已知抛物线是常数且，对称轴为直线 （1）求抛物线与轴交点的另一坐标； （2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据图象直接写出的取值范围为　 　 ； （3）当时，的取值范围为　 　 ，若点，，都在该抛物线上，用“”连接，和得　 　 ． 【答案】（1）解：设抛物线与轴另一交点的坐标为， 抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线 ， 解得， 抛物线与轴另一交点的坐标为 （2） （3）； 【解析】【解答】解：（2）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴与y=k有两个交点 根据函数图象可知抛物线顶点的纵坐标为4 ∴k<4 故答案为：k<4 （3）∵抛物线与坐标轴 的交点坐标为（1，0），（-7.0），抛物线开口朝下 ∴当时，的取值范围为 ∵点，，都在该抛物线上，抛物线开口朝下 ，即0<1<5 ∴ 故答案为：， 【分析】 （1）设抛物线与轴另一交点的坐标为，根据抛物线的对称轴可得，解方程即可答案. （2）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则与y=k有两个交点，结合函数图象即可求出答案. （3）观察函数图象，即可求出当时，x的取值范围，根据函数图象，离对称轴越近的点的函数值越大即可求出答案. 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线（）经过点，，. （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点，当时，求点的坐标. 【答案】（1）解：当时，，解得， 当时，，则点，点， 把，，， 分别代入得 解得：，，， 该拋物线的解析式为 （2）解：由不等式，得， 由图像可知，二次函数图象在一次函数图象上方， 则不等式的解集为 （3）解：如图，作轴于点，交于点， 在中，，，， 在中，，，， 设点，则点， 当点在直线上方时，， 即，解得，则，点的坐标为：. 当点在直线下方时，， 即解得，， 或， 综上所述，符合条件的点坐标有或或. 【解析】【分析】（1）将y=0代入一次函数解析式，可求出对应的x的值；将x=0代入一次函数解析式，可得到对应的y的值，可得到点A，B的坐标；再将点A，B，C的坐标代入二次函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程求出a，b，c的值，即可得到二次函数解析式. （2）将不等式转化为 ， 观察函数图象可知 二次函数图象在一次函数图象上方， 即可得到不等式的解集. （3） 作轴于点，交于点， 利用点A，B的坐标，可得到∠PDQ=∠ADE=45°，利用勾股定理求出PQ，PD的长；设点，则点， 分情况讨论：当点P在直线AB上方时，可得到PD的长，根据PD=1，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到点P的坐标；当点P在直线AB的下方时，可得到PD的长，根据PD=1，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到点P的坐标；综上所述，可得到符合题意的点P的坐标. 20．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值； （3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围． 【答案】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点的横坐标为，点P是抛物线上的任意一点， ， ∵点P到x轴的距离为8， ∴或， 当时，整理得， 解得：或； 当时，整理得， 解得：或； 综上可得， 当点P到x轴的距离为8时， m的值为或或或； （3）解：抛物线的解析式为，与轴交于点； ∴x=0，y=0+0+5=5， ， 图象的最大值与最小值的差为4， ①当点在点上方时， ，且， ， 解得或0（舍去）， ， ②当点在点下方时， 此时点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解； （2）根据“点P到x轴的距离为8”可得或，分别解一元二次方程即可求解； （3）根据图象的最大值与最小值的差为4，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，根据二次函数的最值以及二次函数的对称性即可求解． （1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：点的横坐标为， ， ∴或， 当时，整理得， 解得或； 当时，整理得， 解得或； 综上，m的值为或或或； （3）解：抛物线的解析式为，与轴交于点； ， 图象的最大值与最小值的差为4， ①当点在点上方时， ，且， ， 解得或0（舍去）， ， ②当点在点下方时， 此时点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$