22.3 实际问题与二次函数 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数建模的基本步骤 1. 审题分析：明确问题中的已知量、未知量及数量关系 2. 设自变量：选择合适的变量表示问题中的未知量 3. 列函数关系式：根据等量关系建立二次函数表达式 4. 确定自变量取值范围：结合实际意义限制自变量取值 5. 求解与检验：利用二次函数性质解决问题并验证结果合理性 二、几何图形中的最值问题 1. 面积最值模型 矩形面积： 三角形面积：利用底和高的关系建立二次函数 组合图形：通过分割转化为基本图形求解 2. 解题关键 正确表示图形各边长与面积的关系 注意实际问题中边长的非负性限制 顶点坐标在取值范围内时，顶点即为最值点；否则需根据增减性确定最值 三、抛物线形实际问题 1. 坐标系建立原则 通常以抛物线顶点为原点或对称轴为y轴 以抛物线的对称轴为y轴可简化解析式 以抛物线与x轴交点为原点可简化计算 2. 典型应用场景 拱桥/隧道问题：根据跨度和高度建立模型 抛射体运动：如投篮、喷水等抛物线轨迹问题 建筑设计：抛物线形屋顶、拱门等结构 四、经济问题中的应用 1. 利润最大化模型 基本公式：总利润=（单价-成本）×销售量 常见关系：销售量与价格呈一次函数关系 解题步骤：建立利润关于价格的二次函数→求最值 2. 成本最小化问题 根据成本构成建立二次函数模型 利用顶点坐标求最低成本 五、关键注意事项 1. 自变量取值范围：必须考虑实际意义，如长度为正、人数为整数等 2. 最值判断： 当时，抛物线开口向上，函数有最小值 当时，抛物线开口向上，函数有最大值 顶点坐标公式： 3. 结果验证：解出的结果需检验是否符合实际问题情境 4. 单位统一：确保所有量的单位一致 巩固练习 一、选择题 1．用长为12m的铝合金型材做一个形状如右图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积为（　　） A．4m2 B．6m2 C．12m2 D．16m2 2．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（　　） A． B． C． D． 3．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止 C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点 4．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 5．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（　　） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（　　） A． B． C． D． 8．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为　 　秒． 10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　 　平方米． 11．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”） 12．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是　 　m. 13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是　 　m. 14．如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则　 　． 三、解答题 15．某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元． （1）若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元 （2）求出一周销售量（件）与（元）的函数关系式． （3）设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价． 16．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米. （1）若两个鸡场的面积之和为S，求S关于的关系式； （2）两个鸡场面积之和S有最大值吗？若有，求出这个最大值. 17．如图 1， 公园草坪的地面 处有一根直立水管， 喷水口可上下移动， 喷出的抛物线形水线也随之上下平移， 图 2 是其示意图. 开始喷水后， 若喷水口在 处， 水线落地点为 ， 若喷水口上升到 处，水线落地点为 ， 记 长度为 。 （1） 已知 . 若喷水口在 处， . ①求水线最高点与点 之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高 1.5 m 的小红要从水线下某点经过， 为了不被水喷到， 该点与 的水平距离应满足什么条件？请说明理由. （2） 在喷水口上升过程中， 当 时， 用含 的式子表示水线的最大高度. 18．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，，从处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，已知水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是． （1）求二次函数表达式； （2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 19．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式： （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 20．已知，足球球门高2.44米(如图1) ．在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD=4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系(如图2)． （1）求该抛物线的表达式： （2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离： （3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'(如图3)，请直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3 实际问题与二次函数 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数建模的基本步骤 1. 审题分析：明确问题中的已知量、未知量及数量关系 2. 设自变量：选择合适的变量表示问题中的未知量 3. 列函数关系式：根据等量关系建立二次函数表达式 4. 确定自变量取值范围：结合实际意义限制自变量取值 5. 求解与检验：利用二次函数性质解决问题并验证结果合理性 二、几何图形中的最值问题 1. 面积最值模型 矩形面积： 三角形面积：利用底和高的关系建立二次函数 组合图形：通过分割转化为基本图形求解 2. 解题关键 正确表示图形各边长与面积的关系 注意实际问题中边长的非负性限制 顶点坐标在取值范围内时，顶点即为最值点；否则需根据增减性确定最值 三、抛物线形实际问题 1. 坐标系建立原则 通常以抛物线顶点为原点或对称轴为y轴 以抛物线的对称轴为y轴可简化解析式 以抛物线与x轴交点为原点可简化计算 2. 典型应用场景 拱桥/隧道问题：根据跨度和高度建立模型 抛射体运动：如投篮、喷水等抛物线轨迹问题 建筑设计：抛物线形屋顶、拱门等结构 四、经济问题中的应用 1. 利润最大化模型 基本公式：总利润=（单价-成本）×销售量 常见关系：销售量与价格呈一次函数关系 解题步骤：建立利润关于价格的二次函数→求最值 2. 成本最小化问题 根据成本构成建立二次函数模型 利用顶点坐标求最低成本 五、关键注意事项 1. 自变量取值范围：必须考虑实际意义，如长度为正、人数为整数等 2. 最值判断： 当时，抛物线开口向上，函数有最小值 当时，抛物线开口向上，函数有最大值 顶点坐标公式： 3. 结果验证：解出的结果需检验是否符合实际问题情境 4. 单位统一：确保所有量的单位一致 巩固练习 一、选择题 1．用长为12m的铝合金型材做一个形状如右图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积为（　　） A．4m2 B．6m2 C．12m2 D．16m2 【答案】B 【解析】【解答】解：设窗框的长为x，面积为y， ∴宽为 即 ∴y有最大值， 即： 故答案为：B. 【分析】设窗框的长为x，面积为y，则表示宽为利用矩形的面积列关系式，根据顶点坐标公式计算最值即可. 2．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意得到，解方程即可得到答案． 【解答】 解：令函数解析式中，， 得到， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是， 故选：C． 3．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止 C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点 【答案】B 【解析】【解答】根据题意可知，小球被推开后笔直滑行， ∴小球停止时，滑行距离最大值， 据图可知，t=6时，滑行距离最大， ∴小球滑行6秒后静止， 故答案为：B． 【分析】根据题意，结合函数图象即可得出答案． 4．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意可得：， 故答案为：C. 【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润. 5．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：在 中，令 得： 解得 (舍去)或 ∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米， 故答案为： C. 【分析】根据实心球落地时，高度 把实际问题可理解为当 时，求x的值即可. 6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（　　） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【解析】【解答】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故A错误； ， ∴对称轴直线为：，最大值为20，故D错误； ∴时，，此时小球继续下降，故C错误； ∵当时，即，解得，， ∴， ∴小球从飞出到落地要用，故B正确． 故答案为：B. 【分析】根据方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，结合二次函数的图象及性质即可对各个选项作出判断. 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：小球落地，即，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻，舍去， ∴， 故选：A． 【分析】小球落地，即小球的高度，得出一元二次方程，解方程求出t的值，结合实际问题即可求解. 8．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故答案为：C 【分析】根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得x的值，即可求出答案. 二、填空题 9．2022年大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为　 　秒． 【答案】18 【解析】【解答】解：∵， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，g有最大值， ∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长， ∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒． 故答案为：18． 【分析】先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再结合二次函数的解析式可得当时，g有最大值，从而得解. 10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　 　平方米． 【答案】450 【解析】【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据题意可得，列出菜园的面积关于x的函数关系式，配方为顶点式得到最值解答即可． 11．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶　 　碰到水柱．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可. 12．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是　 　m. 【答案】4 【解析】【解答】将y=3.05代入y＝－x2＋3.5，得 3.05=－x2+3.5， 解得，x=−1.5(舍去)或x=1.5， ∴若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是：2.5+1.5=4(m)， 故答案为：4. 【分析】 由二次函数图象上点的坐标特征知，当y=3.05时可得关于x的一元二次方程，再解方程求出符合条件的根即可． 13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是　 　m. 【答案】3 【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b， 由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+2.4， ∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8， 则1.8=﹣ x2+2.4， 解得：x= （负值舍去） 故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米， 故答案为：3. 【分析】由题意用待定系数法可求得抛物线的解析式，把y=8代入求得的解析式计算即可求解. 14．如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意设二次函数的解析式为，点， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 故答案为：． 【分析】根据题意设出二次函数的解析式为，根据待定系数法将点M坐标代入解析式可得，根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得x，再根据两点间距离即可求出答案. 三、解答题 15．某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元． （1）若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元 （2）求出一周销售量（件）与（元）的函数关系式． （3）设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价． 【答案】（1）； （2）解：由题意得，， 一周销售量件与元的函数关系式为； （3）解：由题意得， ， ， 当时，毛利润有最大值，最大值为， 与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元． 【解析】【解答】（1）解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为（件）， 毛利润为（元）． 故答案为：；． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． （1）根据题意可得，按每件元销售，每周销量为（件），根据利润销售数量（售价成本），进行计算即可； （2）直接根据“如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件”，列出解根据一次函数的性质，即可求解； （3）利用“利润销售数量（售价成本）”可得关于的二次函数，然后确定其最大值，即可求解． （1）解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为（件）， 毛利润为（元）． 故答案为：；． （2）解：由题意得，， 一周销售量件与元的函数关系式为； （3）解：由题意得， ， ， 当时，毛利润有最大值，最大值为， 与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元． 16．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米. （1）若两个鸡场的面积之和为S，求S关于的关系式； （2）两个鸡场面积之和S有最大值吗？若有，求出这个最大值. 【答案】（1）解：∵的长为米 ∴BC的长度=34+2-3x=36-3x ∴S=（36-3x）x=-+36x （2）解：∵墙的长度为20m ∴BC≤20-2=18m ∴BC=34-2x≤18，解得x≥8； ∴S=-+36x=-3（）= 当x=9时，可得S的最大值=108. 【解析】【分析】（1）根据矩形的周长公式，可得BC的长度；根据矩形的面积公式，可得关于S的二次函数； （2）根据墙的长度，可得x的取值范围；根据二次函数的最值，将二次函数化为顶点式，即可求得S的最大值. 17．如图 1， 公园草坪的地面 处有一根直立水管， 喷水口可上下移动， 喷出的抛物线形水线也随之上下平移， 图 2 是其示意图. 开始喷水后， 若喷水口在 处， 水线落地点为 ， 若喷水口上升到 处，水线落地点为 ， 记 长度为 。 （1） 已知 . 若喷水口在 处， . ①求水线最高点与点 之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高 1.5 m 的小红要从水线下某点经过， 为了不被水喷到， 该点与 的水平距离应满足什么条件？请说明理由. （2） 在喷水口上升过程中， 当 时， 用含 的式子表示水线的最大高度. 【答案】（1）解：以 所在直线为 轴， 以 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系，则 ， ①由对称性可知， 抛物线的对称轴为直线 ， 水线最高点与点 之间的水平距离为 4 m . ②设平移后抛物线的解析式为 ， 将 代入解析式 ， 可解得 ， 水线的最高点高度为 2 m . ③由抛物线对称性可知， 当 时， ， 她与 的水平距离应大于 0 且小于 4 m . （2）解：设平移后抛物线的解析式为 ， 将 代入解析式 ， 可解得 . 水线的最大高度为 . 【解析】【分析】（1）①依据题意，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，再OA＝4m，可得抛物线的对称轴是直线x＝2，又OB＝6m，即可得到答案； ②设平移后抛物线的解析式为 ，将 代入解析式 ，利用待定系数法即可求解； ③依据题意，结合②令y＝1.5，可解得x=4，从而可以判断得解； （2）依据题意，设平移后抛物线的解析式为 ，将 代入解析式可得，即可得到答案． 18．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，，从处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，已知水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是． （1）求二次函数表达式； （2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】（1）解：水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是，， 抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 抛物线的解析式为 （2）解：令得到， 解得舍去， 故水池的半径至少为米． 【解析】【分析】⑴、二次函数与实际问题，由题可以分析得出抛物线的顶点坐标以及抛物线与y轴交点A的坐标，故可以设抛物线的顶点式，求二次函数解析式。 ⑵、要使喷出的水流不至于落在池外，水池的半径应该大于当函数值y等于0时，自变量x（x>0）的值，故可以先求当y等于零时自变量的值，再确定水池的半径。 19．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式： （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 【答案】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， 代入得， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； （2）上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得， （舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为， （3）不能 【解析】【解答】解：（3）米，米，米， 点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． 【分析】（1）利用待定系数法，根据顶点坐标先假设出方程：，接着代入点求出a的值即可得到结果； （2）先利用关于对称轴得到对称点为得到点的平移关系，接着利用求出点的坐标为进而得到结果； （3）利用表达式先求出的坐标为的坐标，接着利用函数的增减性进行判断即可得到结果. （1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， 代入得， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； （2）上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得， （舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为， （3）米，米，米， 点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． 20．已知，足球球门高2.44米(如图1) ．在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD=4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系(如图2)． （1）求该抛物线的表达式： （2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离： （3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'(如图3)，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是D(6，4.4) 设抛物线的解析式是： y=a(x-6)2+4.4 把点A(0，0.4)代入得： 36a+4=0.4 解得： a= 则抛物线的解析式为y= (x-6)2+4.4； （2）解：∵球门高2.44米，即y=2.44， 依题意，得： (x-6)2+4.4 =2.44 解得： x1=10.2，x2=1.8 由图2可知，球门在CD右边， ∴x=10.2 答：该足球运动的水平距离为10.2米； （3）解：不后退时，刚好击中横梁，所以往后退，则球可以进入球门而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值， 当y=0时，得： (x-6)2+4.4=0， 解得： x1=6+，x2=6-(舍去) 6+-10.2=-4.2 ∴0<m<-4.2. 【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标是D(6，4.4)，进而设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4.4，代入点A(0，0.4)解得a的值，求出函数解析式； （2）将y=2.44代入函数解析式解得x值，再根据图2可得该足球运动的水平距离为10.2米； （3）不后退时，刚好击中横梁，所以往后退，则球可以进入球门而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，将y=0代入函数解析式解得x的值，进而求得m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$