24.1.1 圆 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.1 圆 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、圆的定义 1. 静态定义 在一个平面内，线段Or绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点r所经过的封闭曲线叫做圆。 这个固定的端点O叫做圆心，线段Or叫做半径。 记作：。 2. 动态定义（集合定义） 圆是平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形。 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上。 二、圆的基本元素 1. 圆心（O） 圆的中心，确定圆的位置。 2. 半径（r） 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 圆有无数条半径，且所有半径的长度都相等。 半径确定圆的大小。 3. 直径（d） 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 圆有无数条直径，且所有直径的长度都相等。 直径与半径的关系：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即 。 三、圆的相关概念 1. 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径是圆中最长的弦。 2. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 3. 半圆、优弧、劣弧 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示 4. 等圆与等弧 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。 半径相等的两个圆是等圆；反之，等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。 四、圆的性质 1. 圆的旋转不变性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合。 2. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3. 半径相等：同圆或等圆的半径相等。 4. 直径是最长的弦：在同圆或等圆中，直径的长度大于任何一条非直径的弦。 巩固练习 一、选择题 1．如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠BOC=100°，AD∥OC，则∠AOD的度数是（　　）． A．20° B．60° C．50° D．40° 3．如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．120° 4．如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的度数等于（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 5．如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(　　) A．20° B．30° C．45° D．60° 7．如图所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点在上，且不与点M，N重合.当点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长（　　）. A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 8．如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 二、填空题 9．已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为　 　cm． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是 　 　 11．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是　 　． 12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　 　度． 13．如图，点A，B，C在圆O上．若，则的度数为　 　． 14．在同一平面内，到一个定点的距离等于　 　的所有点组成的图形叫作圆．圆是一条曲线，定点叫作　 　，定长叫作　 　，圆的半径都相等． 三、解答题 15．如图，是的直径，，求的度数． 16．如图所示，图形由四个半圆组成，从A到B若分别沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走，你认为走哪条路线近些？为什么？ 17．如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数． 18．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为 上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长． 19．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． ​ （1）求∠AOB的度数 （2）求∠EOD的度数 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.1 圆 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、圆的定义 1. 静态定义 在一个平面内，线段Or绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点r所经过的封闭曲线叫做圆。 这个固定的端点O叫做圆心，线段Or叫做半径。 记作：。 2. 动态定义（集合定义） 圆是平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形。 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上。 二、圆的基本元素 1. 圆心（O） 圆的中心，确定圆的位置。 2. 半径（r） 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 圆有无数条半径，且所有半径的长度都相等。 半径确定圆的大小。 3. 直径（d） 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 圆有无数条直径，且所有直径的长度都相等。 直径与半径的关系：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即 。 三、圆的相关概念 1. 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径是圆中最长的弦。 2. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 3. 半圆、优弧、劣弧 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示 4. 等圆与等弧 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。 半径相等的两个圆是等圆；反之，等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。 四、圆的性质 1. 圆的旋转不变性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合。 2. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3. 半径相等：同圆或等圆的半径相等。 4. 直径是最长的弦：在同圆或等圆中，直径的长度大于任何一条非直径的弦。 巩固练习 一、选择题 1．如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由图可知，过圆心为直径， ∴最长， 故选：C． 【分析】 圆中最长的弦为直径． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠BOC=100°，AD∥OC，则∠AOD的度数是（　　）． A．20° B．60° C．50° D．40° 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ∠BOC=100°， ∴∠AOC=180°-100°=80°， ∵AD∥OC， ∴∠AOC=∠A=80°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠D=80°， ∴∠AOD=180°-∠A-∠D=180°-80°-80°=20°. 故答案为：A. 【分析】利用已知可求出∠AOC的度数，利用平行线的性质可求出∠A的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠AOD的度数. 3．如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（　　） A．40° B．60° C．80° D．120° 【答案】B 【解析】【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40° ∴ ∴ 故答案为：B 【分析】根据圆的性质可得，再根据平角性质即可求出答案. 4．如图，点A，B，C在 上，若 ，则 的度数等于（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【解析】【解答】解：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB. 又∠OBC=40°， ∴∠OBC=∠OCB=40°， ∴∠BOC=180°-2×40°=100°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+100°=140°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠ACO， ∴∠OAC= . 故答案为：D. 【分析】利用等边对等角可证得∠OBC=∠OCB，利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数；再根据∠AOC=∠AOB+∠BOC，可求出∠AOC的度数，然后利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠OAC的度数. 5．如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵AO=OC，∠ACO=25°， ∴∠ACO=∠CAO=25°， ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=130°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=50°. 故答案为：B. 【分析】根据对圆的认识可得AO=OC，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAO=25°，利用内角和定理可求出∠AOC的度数，然后由邻补角的性质计算即可. 6．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(　　) A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【解析】【解答】解：连结OD，如图， 则∠DOC=70°-45°=25°， ∠AOD=160°-70°= 90°； ∵OD=OA； ∴∠ADO=45°； ∵∠ADO=∠B+∠DOB； ∴∠B=45°-25°= 20°， 故答案为：A. 【分析】连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质即可求解. 7．如图所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点在上，且不与点M，N重合.当点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长（　　）. A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形， ∴AB=OP=半径， 当点P在 在上移动时，半径一定， ∴AB的长度不变 故答案为：C. 【分析】根据矩形的对角线相等可得AB=OP=半径，据此即可得出答案. 8．如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可知，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点两点 CD为AB的垂直平分线 AE=BE=AB=3，AB⊥CD 设该圆的半径为r AO=OF=r EF=1 OE=OF-EF=r-1 又 AB⊥CD AO2=OE2+AE2 即r2=（r-1）2+32 r=5 该圆的半径为5 故答案为：C. 【分析】由题意可得CD为AB的垂直平分线，则AE=BE=AB=3，AB⊥CD，设该圆的半径为r，则AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可. 二、填空题 9．已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为　 　cm． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O的半径为2cm， ∴⊙O最长弦为4 cm， 故答案为：4. 【分析】根据直径是圆中最长的弦求解． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是 　 　 【答案】10 【解析】【解答】解：连接OC， ∵CD=4，OD=3， 在Rt△ODC中， ∴OC= ∴AB=2OC=10， 故答案为：10． 【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长．​ 11．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于E，若，则的度数是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵CD=OA， ∴， ∴， ∵∠ODE是△COD的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵∠BOE是△COE的一个外角， ∴， 解得：. 故答案为：． 【分析】由题意和圆的性质可得，由等边对等角可得：，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，结合已知可得，再根据三角形外角的性质可得即可求解． 12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　 　度． 【答案】34 【解析】【解答】解：由同圆的半径相等得：， ， ， ， 故答案为：34． 【分析】先根据同圆的半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 13．如图，点A，B，C在圆O上．若，则的度数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】连接，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠OCB=80°，再根据等边对等角即可求出答案. 14．在同一平面内，到一个定点的距离等于　 　的所有点组成的图形叫作圆．圆是一条曲线，定点叫作　 　，定长叫作　 　，圆的半径都相等． 【答案】定长；圆心；半径 【解析】【解答】解：在同一平面内，到一个定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫作圆．圆是一条曲线，定点叫作 圆心 ，定长叫作 半径 ，圆的半径都相等． 故答案为： 定长 、 圆心 、半径 【分析】根据圆的定义及与圆相关的概念填写. 三、解答题 15．如图，是的直径，，求的度数． 【答案】解：， ． 【解析】【分析】本题考查圆的有关性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质.根据利用等角对等边可得：，再利用三角形外角的性质可得：，代入数据进行计算可求出答案. 16．如图所示，图形由四个半圆组成，从A到B若分别沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走，你认为走哪条路线近些？为什么？ 【答案】解：沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走的路径相等．理由如下： 设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R， 大半圆周ACB的长=•2πR=πR，三个小半圆周ADEFB的长=•2π•x+•2π•y+•2π•z=π（x+y+z） 所以大半圆周ACB的长等于三个小半圆周ADEFB的长． 【解析】【分析】设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R，根据圆的周长公式得到大半圆周ACB的长=πR，三个小半圆周ADEFB的长=π（x+y+z），于是可判断两条路径一样近． 17．如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数． 【答案】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， 即， ∴ 【解析】【分析】连接，得到等腰三角形OBE和等腰三角形AOB，再根据等边对等角，并利用三角形内角和及外角的关系求解即可． 18．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为 上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长． 【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴OD=EF=3，∴AB=6 【解析】【分析】连接OD，由条件可得四边形OFDE是矩形，根据矩形对角线相等可知OD=EF=3，利用同圆半径相等即可解答。 19．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． ​ （1）求∠AOB的度数 （2）求∠EOD的度数 【答案】（1）解： 连OB，如图， ∵AB=OC，OB=OC， ∴AB=BO， ∴∠AOB=∠1=∠A=20° （2）解： ∵∠2=∠A+∠1， ∴∠2=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠2=∠E， ∴∠E=2∠A， ∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°． ​ 【解析】【分析】（1）由AB=O得到AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°； （2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD． 学科网（北京）股份有限公司 $$