24.1.2 垂直于弦的直径 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、垂径定理及其证明 1. 垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：如图， 二、垂径定理的推论 1. 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：被平分的弦不能是直径，因为任意两条直径互相平分但不一定垂直。 2. 推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3. 推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 三、垂径定理的应用 1. 基本模型 已知圆的 应用：已知其中两个量，可求第三个量。 2. 常见应用场景 计算弦长、半径或圆心到弦的距离； 证明线段相等、弧相等或垂直关系； 解决实际问题（如拱桥高度、管道直径测量等）。 3. 实际问题举例 四、辅助线作法 1. 常用辅助线 过圆心作弦的垂线（构造弦心距）； 连接圆心与弦的端点（构造半径）； 遇到直径时，常构造直径所对的圆周角（直角）。 2. 口诀 "半径、弦长、弦心距，知二求一用勾股；垂径定理来帮忙，辅助线作半径和垂线。" 五、易错点与注意事项 1. 定理条件遗漏 忽略"直径"条件：必须是直径（或过圆心的直线）垂直于弦才成立； 忽略"弦不是直径"：推论1中被平分的弦不能是直径。 2. 弧的平分问题 垂径定理平分弦所对的"两条弧"（优弧和劣弧），需注意题目中具体指哪条弧。 3. 计算错误 应用勾股定理时，混淆弦长、半径和弦心距的关系，忘记将弦长取半。 巩固练习 一、选择题 1．如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 2．如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（　　） A． B． C． D． 3．如图，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为点M，N，如果MN=，那么BC等于(　　) A．3 B． C． D． 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（　　） A．20m B．12m C．10m D．8m 6．如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（　　） A．8 B．5 C．4 D．3 7．如图，已知的半径为，弦与弦位于圆心的异侧，，，在上取点，连结并延长交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（　　） A．20° B．2° C．25° D．30° 二、填空题 9．如图，⊙O的半径为10，P是弦AB上一动点，若AB=16，则OP的取值范围是　 　 10．如图，已知圆上两点A，B，作以AB为底边的圆内接等腰三角形．若已知圆的半径R=5，AB=8，则所作等腰三角形底边上的高的长度为　 　． 11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第　 　块． 12．如图，在中，点在弦上，于点，，，，则圆心距的长为　 　；若点在圆上动，则的最小值　 　． 13．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为　 　． 14．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为　 　． 三、解答题 15．如图，⊙O的直径AB与弦CD(不是直径)相交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长． 16．如图，CD为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数． （2）若，求圆O的半径． 17．如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 18． 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米 （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度． 19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 20．如图，是的直径，弦与相交于点为劣弧的中点，若， （1）求的半径； （2）求弦的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2 垂直于弦的直径 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、垂径定理及其证明 1. 垂径定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：如图， 二、垂径定理的推论 1. 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：被平分的弦不能是直径，因为任意两条直径互相平分但不一定垂直。 2. 推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3. 推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 三、垂径定理的应用 1. 基本模型 已知圆的 应用：已知其中两个量，可求第三个量。 2. 常见应用场景 计算弦长、半径或圆心到弦的距离； 证明线段相等、弧相等或垂直关系； 解决实际问题（如拱桥高度、管道直径测量等）。 3. 实际问题举例 四、辅助线作法 1. 常用辅助线 过圆心作弦的垂线（构造弦心距）； 连接圆心与弦的端点（构造半径）； 遇到直径时，常构造直径所对的圆周角（直角）。 2. 口诀 "半径、弦长、弦心距，知二求一用勾股；垂径定理来帮忙，辅助线作半径和垂线。" 五、易错点与注意事项 1. 定理条件遗漏 忽略"直径"条件：必须是直径（或过圆心的直线）垂直于弦才成立； 忽略"弦不是直径"：推论1中被平分的弦不能是直径。 2. 弧的平分问题 垂径定理平分弦所对的"两条弧"（优弧和劣弧），需注意题目中具体指哪条弧。 3. 计算错误 应用勾股定理时，混淆弦长、半径和弦心距的关系，忘记将弦长取半。 巩固练习 一、选择题 1．如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【解析】【解答】解：连接OA，如下图所示： ∵在直角三角形OAC中，OA＝5，弦心距， ∴AC＝ ， 又∵OC⊥AB， ∴AB=2AC=2×4=8． 故答案为：A 【解析】连接OA，在直角三角形OAC中，根据勾股定理可得AC，再根据垂径定理即可求出答案. 2．如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵OC⊥AB， ∴， ∵OD=3， ∴. 故答案为：D. 【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可. 3．如图，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为点M，N，如果MN=，那么BC等于(　　) A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：因为AB、AC都是圆O的弦， OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N， 所以OM、ON是三角形ABC的中位线， 又因为， 所以， 故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的性质求出BC的长度。 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】【解答】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（）． 故答案为：D． 【分析】根据垂径定理得到，然后根据勾股定理解题即可． 5．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（　　） A．20m B．12m C．10m D．8m 【答案】C 【解析】【解答】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得：， 设，， ∴， 解得：， 即， 故答案为：C． 【分析】先利用垂径定理得到AD长，然后根据勾股定理得到半径的值即可． 6．如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（　　） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】【解答】解：∵点为中点， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【分析】根据垂径定理可得，然后利用勾股定理解答即可． 7．如图，已知的半径为，弦与弦位于圆心的异侧，，，在上取点，连结并延长交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：连接，，过点O作作于点，交AB于点M， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 在中， ， ， 故答案为：B. 【分析】连接，，过点O作作于点，交AB于点M，先根据垂径定理求出ND的长，再在Rt△ODN中利用勾股定理算出ON的长；根据平行于三角形一边的直线截其它两边得延长线，所截三角形与原三角形相似可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理及垂径定理即可求解. 8．如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（　　） A．20° B．2° C．25° D．30° 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：D 【分析】本题考查 垂径定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质和三角形内角和定理.当连接后，先根据垂径定理得到，则，根据， 可证明，利用等边对等角可得：，利用三角形外角的性质通过计算可得：，最后由三角形内角和定理建立方程，解方程可求出∠D的值，进而可求出答案． 二、填空题 9．如图，⊙O的半径为10，P是弦AB上一动点，若AB=16，则OP的取值范围是　 　 【答案】6≤OP≤10 【解析】【解答】解：如图，过O点作OC⊥AB于C，并连接OA. ∴. ∵⊙O的半径为10， ∴在Rt△OCA中，. ∴当P与A或B重合时，OP最长为10， 当P与C重合时，OP最短为6， ∴线段OP长度的取值范围是：6≤OP≤10. 故答案为：6≤OP≤10. 【分析】先过O点作OC⊥AB于C，并连接OA，然后根据垂径定理得到AC长，并且通过Rt△OCA解出OC长. 而通过P点的运动轨迹可知，OP最长为OA，最短为OC，据此即得到OP的取值范围. 10．如图，已知圆上两点A，B，作以AB为底边的圆内接等腰三角形．若已知圆的半径R=5，AB=8，则所作等腰三角形底边上的高的长度为　 　． 【答案】2或8 【解析】【解答】解：连接OA， ∵圆的半径R=5，AB=8， ∴OA=OC=5，AD=4， 在△AOD中，， ∴CD=OC+OD=5+3=8， ∴C'D=2OC-CD=10-8=2， 故答案为：2或8. 【分析】连接OA，先根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理，以及线段的和差关系即可求解. 11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第　 　块． 【答案】② 【解析】【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长. 故答案为：②. 【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第②块可确定半径的大小. 12．如图，在中，点在弦上，于点，，，，则圆心距的长为　 　；若点在圆上动，则的最小值　 　． 【答案】； 【解析】【解答】解：连接，延长交于点，则PC最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； 【分析】连接，延长交于点，则PC最短，先根据垂径定理结合题意得到AD，进而即可求出CD，再根据勾股定理求出OA，从而根据题意进行线段的运算即可求解。 13．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：连接OA ∵在中，半径垂直弦于点D， ∴ ∵OC=3 ∴OA=OC=3 在Rt△AOD中， ∴CD=3-1=2 故答案为：2 【分析】连接OA ，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案. 14．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为　 　． 【答案】2米 【解析】【解答】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故答案为：2米． 【分析】连接、，交于点，根据垂径定理可得（米，然后根据勾股定理求出OD长即可解题． 三、解答题 15．如图，⊙O的直径AB与弦CD(不是直径)相交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长． 【答案】解：如图，连结OD，设⊙O的半径为r， ∵AB是⊙O的直径，且CF=DF， ∴AB⊥CD． ∵OB=r，BF=2，∴OF=r-2． 在Rt△OFD中， 由勾股定理得，r2=(r-2)2+42，解得r=5． ∴AF=8． 在Rt△ACF中， 由勾股定理得，AC== 【解析】【分析】连结OD，设☉O的半径为R，根据AB是☉O的直径，且CF=DF，在Rt△OFD中，根据勾股定理可得出AF的长，在Rt△ACF中，根据勾股定理可求出AC的长. 16．如图，CD为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数． （2）若，求圆O的半径． 【答案】解：（1），过点， ， ， ，过点， ， ， ， ∴为等边三角形， ， （2）， ， ， ， 又∵， ， ， 设，则， ∵，且， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即的半径为8． 【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，，根据线段垂直平分线性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即可求出答案. （2）根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 17．如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 【答案】（1）解：，过点， ， ， ，过点， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：， ， ， ， 又∵， ， ， 设，则， ∵，且， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即的半径为2． 【解析】【分析】（1）根据垂径定理求出，，根据线段垂直平分线性质求出，，再根据等边三角形判定定可得为等边三角形，则即可求出答案. （2）根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案. （1）解：，过点， ， ， ，过点， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：， ， ， ， 又∵， ， ， 设，则， ∵，且， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即的半径为2． 18． 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米 （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度． 【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R， 在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2， ∴R2＝（R﹣8）2+162， 解得R＝20； （2）解：OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20， 在Rt△OHF中，HF＝＝16， ∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米）， ∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米． 【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，进而根据勾股定理即可求解； （2）先根据勾股定理求出HF，进而结合题意即可求解。 19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】解：连接OA，如图所示： ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 ∴CD=26（寸）． 故答案为：26寸． 【解析】【分析】先利用垂径定理求出AE=BE=AB =5，再设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出CD的长即可. 20．如图，是的直径，弦与相交于点为劣弧的中点，若， （1）求的半径； （2）求弦的长． 【答案】（1）解：连，如图所示： 是的直径，为劣弧的中点， ， 设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得， 即的半径为5； （2）解：， ． 【解析】【分析】（1）设的半径为，则，利用勾股定理可得，即，在再求出r的值即可； （2）先利用线段的和差求出DE的长，再利用勾股定理求出AD的长即可. （1）解：连， 是的直径，为劣弧的中点， ， 设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得， 即的半径为5； （2）解：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$