24.1.3 弧、弦、圆心角 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.3 弧、弦、圆心角 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、基本概念 1. 圆心角定义 顶点在圆心的角叫做圆心角。如图，。 2. 相关概念 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。分为优弧（大于半圆的弧）和劣弧（小于半圆的弧）。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，其对称中心为圆心。将圆绕圆心旋转任意角度，所得图形与原图形重合，这一性质称为圆的旋转不变性。 二、核心定理与推论 1. 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 注意：定理成立的前提条件是同圆或等圆，缺少此条件则结论不成立。 2. 定理推论（知一推二） 在同圆或等圆中，以下三组量中若有一组相等，则其余两组量也相等： 1. 圆心角相等 ⇨ 所对弧相等，所对弦相等； 2. 弧相等 ⇨ 所对圆心角相等，所对弦相等； 3. 弦相等 ⇨ 所对圆心角相等，所对劣弧（或优弧）相等。 3. 圆心角与弧的度数关系 1°的弧：将顶点在圆心的周角等分为360份，每一份的圆心角是1°，所对的弧叫做1°的弧。 度数关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 三、易错点警示 1. 混淆弧的长度与度数：等弧的度数相等，但长度相等的弧不一定是等弧（需在同圆或等圆中）。 2. 忽略弦所对弧的双向性：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），若未指定，需分情况讨论。 3. 圆心角与圆周角混淆：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，两者性质不同（圆周角是圆心角的一半）。 巩固练习 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点P，且点P是半径OB的中点，则∠COD的度数是(　　) A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵在⊙O内，半径OD=OB，且P是OB的中点， ∴P也是2OP=OB=OD. ∵在Rt△ODP中，2OP=DO， ∴∠ODP=30°. ∴∠DOP=60°. ∴∠COD=2∠DOP=120°. 故答案为：C. 【分析】根据直径垂直于弦的性质，可知道∠OPD=90°，然后利用含30°角的直角三角形性质（30°角所对的直角边是斜边的一半）计算出∠DOP，再利用对称性得出∠COD度数. 2．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°，则∠AOC等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【解析】【解答】解：连接OE，如图所示： ∵的度数为40°， ∴∠COE=40°， ∵OC=OE， ∴∠OCE=（180°-∠COE）=50°， ∵CE//AB， ∴∠AOC=∠OCE=50°， 故答案为：B. 【分析】连接OE，先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠OCE的度数，再利用平行线的性质可得∠AOC=∠OCE=50°，从而得解. 3．如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧BE的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 即的半径为． 故答案为：C． 【分析】先根据垂径定理得到，然后根据点C是弧的中点得出，进而得到，即可得到，然后运用勾股定理即可解题． 4．如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：A 【分析】本题考查弧长与圆心角的关系.根据，利用同弧或等弧所对的圆心角相等可得：，再利用平角的定义可得：，代入数据进行计算可求出答案． 5．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ∴， ∴． 故答案为：A． 【分析】由等腰三角形的性质“等边对等角”以及三角形的内角和定理，可以求出，由旋转的性质可知，由“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可知，从而求解． 6．如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE=6，BF=1，则⊙O的半径长是（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴，CF=DF， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴CD=BE=6， ∴， ∵BF=1，OD=r， ∴OF=r-1， ∴32+(r-1)2=r2 解得：r=5， ∴⊙O的半径长是5， 故答案为：C. 【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得从，而得出CD=BE=6，再利用勾股定理进行求解即可. 7．如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图， ∵∠BOC＋∠EOD＝180°， 而∠BOC＋∠BOF＝180°， ∴∠DOE＝∠BOF， ∴弧DE＝弧BF， ∴DE＝BF＝6， ∵OH⊥BC， ∴CH＝BH， 而CO＝OF， ∴OH为△CBF的中位线， ∴OH＝BF＝3． 故答案为：A. 【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长． 8．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上． 若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为（　　） A．52° B．40° C．26° D．45° 【答案】C 【解析】【解答】∵OD⊥AB， ∴弧AD=弧BD， 又∵∠AOD=52°， ∴∠DEB=∠AOD=26°. 故答案为：C. 【分析】根据垂径定理得弧AD=弧BD，再由等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，从而得出答案. 二、填空题 9．如图，在OA中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于　 　 【答案】3 【解析】【解答】解：作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，如图所示： ∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴， ∴DE=BF=6． ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， ∵AC=AF， ∴AH=BF=3． 故答案为：3. 【分析】作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，先求出∠DAE=∠BAF，可得DE=BF=6，再利用垂径定理可得AH=BF=3． 10．如图所示，若∠AOB=100，则的度数为　 　；若的度数为250°，则∠AOB=　 　 【答案】260°；110° 【解析】【解答】解：∵ ∠AOB=100°， ∴的度数为100°， ∴的度数为 360°-100°=260°. ∵的度数为250°， ∴∠AOB=360°-250°=110°. 故答案为：260°，110°. 【分析】在圆中，1°的圆心角所对1°的弧，据此解答即可. 11．如图，AB，CD为⊙O的两条弦，AB=CD，OE⊥AB于点E，且OE=2cm，则点O到CD的距离为　 　cm． 【答案】2 【解析】【解答】解：过点O作OF⊥CD，垂足为F. ∵AB=CD，OE⊥AB于点E，OE=2cm， ∴OF=OE=2cm， 故答案为：2. 【分析】作弦CD的弦心距，利用“在同圆心，相等弦的弦心距相等”求解. 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则图中共有劣弧　 　条，写出其中的两条优弧，如　 　 【答案】5；， 【解析】【解答】解：由题意得图中有劣弧共5条，且，为优弧， 故答案为：5；， 【分析】根据弧的定义结合题意图片即可求解。 13．如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，OD交AC于点E，AD=CD．若AC=10，DE=4，则BC的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图， ， ， ， ，， 设， ， ， ， ， 点、分别为、的中点， . 故答案为：. 【分析】先利用圆心角定理证得，再通过垂径定理可得，，设，通过勾股定理解得，得到OE的长度，然后由三角形的中位线定理求得BC的长度. 14．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD． ∵OC⊥AB，OA=OB， ∴PA=PB，∠COB=90°， ∵， ∴∠DOB=×90°=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠ABD=60° ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD=AB•sin∠ABD=2， ∵PB+PD=PA+PD≥AD， ∴PD+PB≥2， ∴PD+PB的最小值为2， 故答案为：2． 【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。 三、解答题 15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长． 【答案】解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAD=120°﹣90°=30°， ∴∠CBD=∠CAD=30°， 又∵∠BAC=120°， ∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°， ∵AB=AC， ∴∠ADB=∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC= ×60°=30°， 在Rt△ABD中，AB= AD= ×6=2 ，BD=2AB=4 ， 在Rt△BCD中，CD= BD=2 ． 【解析】【分析】圆内接四边形的对角互补，进而得∠BDC=60°，∠BDC=30°=∠BCA=∠ABC，利用Rt△ABD求出三边长度，且AB=CD。 16．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 【答案】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64， ∴BC＝ ＝8（cm）， 又CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴ ， ∴AD＝BD ， 又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD2＋BD2＝102， ∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）. 【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。 17．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧 的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 【答案】（1）解：如图，AE为所作； （2）解：连接OE交BC于F，连接OC，如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∴ = ， ∴OE⊥BC， ∴EF=3， ∴OF=5﹣3=2， 在Rt△OCF中，CF= = ， 在Rt△CEF中，CE= = ． 【解析】【分析】（1）先以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边AB、AC交于两点，再分别以这两个点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接点A和交点即可； （2）连接OE交BC于F，连接OC，根据弧、弦、圆周角的关系求出OE⊥BC，得出EF的长，进而得出OF，再利用勾股定理求解即可. 18．如图，A，B，C是⊙O上三点，且＝2，过点B作BD⊥OC于点D． （1）求证：AB＝2BD． （2）若AB＝，CD＝1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：延长BD交⊙O于E，如图： ∵BD⊥OC， ∴BE＝2BD，， ∵， ∴， ∴AB＝BE， ∴AB＝2BD； （2）解：连接OB，如图： 设⊙O 的半径为r， ∵， ∴， 在Rt△OBD中， 解得：r=2． 即圆的半径为2. 【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可得BE=2BD，，求得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即可求解； （2）如图，连接OB，设⊙O 的半径为r，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，求解即可. 19．如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D． （1）若，求的度数； （2）若，，求圆的半径长． 【答案】（1）解：∵，AO=BO， . （2）解：∵，OD为半径，， ， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为3． 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得； （2）根据垂径定理可得，然后在中利用勾股定理，即可求出OA长，也即半径． （1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为3． 20． 如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：延长交于点， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ，， ， 在中，， 的半径为． 【解析】【分析】（1）延长交于点，利用弧与圆心角的关系可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得； （2）利用勾股定理求出AB的长可得圆的直径，再求出圆的半径即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.3 弧、弦、圆心角 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、基本概念 1. 圆心角定义 顶点在圆心的角叫做圆心角。如图，。 2. 相关概念 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。分为优弧（大于半圆的弧）和劣弧（小于半圆的弧）。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，其对称中心为圆心。将圆绕圆心旋转任意角度，所得图形与原图形重合，这一性质称为圆的旋转不变性。 二、核心定理与推论 1. 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 数学表达式： 注意：定理成立的前提条件是同圆或等圆，缺少此条件则结论不成立。 2. 定理推论（知一推二） 在同圆或等圆中，以下三组量中若有一组相等，则其余两组量也相等： 1. 圆心角相等 ⇨ 所对弧相等，所对弦相等； 2. 弧相等 ⇨ 所对圆心角相等，所对弦相等； 3. 弦相等 ⇨ 所对圆心角相等，所对劣弧（或优弧）相等。 3. 圆心角与弧的度数关系 1°的弧：将顶点在圆心的周角等分为360份，每一份的圆心角是1°，所对的弧叫做1°的弧。 度数关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 三、易错点警示 1. 混淆弧的长度与度数：等弧的度数相等，但长度相等的弧不一定是等弧（需在同圆或等圆中）。 2. 忽略弦所对弧的双向性：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），若未指定，需分情况讨论。 3. 圆心角与圆周角混淆：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，两者性质不同（圆周角是圆心角的一半）。 巩固练习 一、选择题 1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点P，且点P是半径OB的中点，则∠COD的度数是(　　) A．90° B．100° C．120° D．150° 2．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°，则∠AOC等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 4．如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE=6，BF=1，则⊙O的半径长是（　　） A． B．4 C．5 D． 7．如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（　　） A．3 B． C．4 D． 8．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上． 若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为（　　） A．52° B．40° C．26° D．45° 二、填空题 9．如图，在OA中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于　 　 10．如图所示，若∠AOB=100，则的度数为　 　；若的度数为250°，则∠AOB=　 　 11．如图，AB，CD为⊙O的两条弦，AB=CD，OE⊥AB于点E，且OE=2cm，则点O到CD的距离为　 　cm． 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则图中共有劣弧　 　条，写出其中的两条优弧，如　 　 13．如图，AB是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，OD交AC于点E，AD=CD．若AC=10，DE=4，则BC的长为　 　． 14．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为　 　． 三、解答题 15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长． 16．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 17．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧 的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 18．如图，A，B，C是⊙O上三点，且＝2，过点B作BD⊥OC于点D． （1）求证：AB＝2BD． （2）若AB＝，CD＝1，求⊙O的半径． 19．如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D． （1）若，求的度数； （2）若，，求圆的半径长． 20． 如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$