24.2.1 点和圆的位置关系 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.2.1 点和圆的位置关系 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、点与圆的三种位置关系 1. 位置关系定义 点在圆内： 点在圆上： 点在圆外： 2. 几何图形表示 二、点与圆位置关系的判定与性质 1. 判定方法 已知半径r和点到圆心距离d，通过比较d与r的大小关系判定位置。 2. 性质 圆上所有点到圆心的距离都等于半径； 圆内点到圆心的距离小于半径，圆外点到圆心的距离大于半径。 3. 拓展应用 若点P在圆内，则过点P的弦中，垂直于OP的弦最短； 若点P在圆外，则过点P的切线长相等（切线长定理基础）。 三、确定圆的条件 1. 基本事实 不在同一直线上的三个点确定一个圆（唯一确定圆心和半径）。 经过一点可作无数个圆（圆心为平面内任意点，半径为圆心到该点的距离）。 经过两点可作无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上）。 2. 三角形的外接圆 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，其圆心称为外心，半径称为外接半径。 外心性质：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 位置规律： 锐角三角形外心在三角形内部； 直角三角形外心在斜边中点（外接半径等于斜边一半）； 钝角三角形外心在三角形外部。 四、反证法（数学思想方法） 1. 定义 先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法。 2. 步骤 反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； 归谬：从假设出发，经过推理得出矛盾（与已知、定理、公理等矛盾）； 结论：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题结论成立。 3. 应用举例 用反证法证明：经过同一直线上的三点不能作圆。 证明：假设过同一直线l上三点A、B、C能作圆，设圆心为O，则OA=OB=OC， ∴点O在AB和BC的垂直平分线上，而直线l上两点的垂直平分线平行，无交点， 与“有圆心O”矛盾，故假设不成立，原命题得证。 五、易错点与注意事项 1. 概念混淆 误将"三点确定一个圆"理解为"任意三点"，忽略"不在同一直线上"的条件。 混淆"外心"与"内心"：外心是三边垂直平分线交点（外接圆），内心是三角平分线交点（内切圆）。 2. 距离计算错误 计算点到圆心距离时，忽略坐标系中距离公式的应用（如点P(x,y)到O(a,b)的距离 3. 反证法步骤遗漏 归谬过程中未明确指出矛盾类型，或未完整否定假设。 巩固练习 一、选择题 1．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 2．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（　　） A． B． C． D． 3．已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 4．在平面直角坐标系中，有一点，以原点为圆心，5为半径作，则点与的位置关系是（　　） A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．无法确定 5．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（　　）. A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 6．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF=DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 二、填空题 9．已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在　 　．（填内、外或上） 10．如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为　 　（填，，，中的一个字母） 11．如图，等腰内接于，点为劣弧上一点，，若，则四边形的面积为　 　． 12．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝，则外接圆的半径为　 　，EF=　 　. 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 　 　（写出一个即可）． 14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为　 　 三、解答题 15．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，求线段OM的最小值． 16．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长． 17．如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点． （1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） （2）若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点． （1）点 的坐标为 ． （2）判断点 与 的位置关系． 19．如图，在等腰直角中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径． （1）求的度数． （2）若的直径为2，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.1 点和圆的位置关系 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、点与圆的三种位置关系 1. 位置关系定义 点在圆内： 点在圆上： 点在圆外： 2. 几何图形表示 二、点与圆位置关系的判定与性质 1. 判定方法 已知半径r和点到圆心距离d，通过比较d与r的大小关系判定位置。 2. 性质 圆上所有点到圆心的距离都等于半径； 圆内点到圆心的距离小于半径，圆外点到圆心的距离大于半径。 3. 拓展应用 若点P在圆内，则过点P的弦中，垂直于OP的弦最短； 若点P在圆外，则过点P的切线长相等（切线长定理基础）。 三、确定圆的条件 1. 基本事实 不在同一直线上的三个点确定一个圆（唯一确定圆心和半径）。 经过一点可作无数个圆（圆心为平面内任意点，半径为圆心到该点的距离）。 经过两点可作无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上）。 2. 三角形的外接圆 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，其圆心称为外心，半径称为外接半径。 外心性质：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 位置规律： 锐角三角形外心在三角形内部； 直角三角形外心在斜边中点（外接半径等于斜边一半）； 钝角三角形外心在三角形外部。 四、反证法（数学思想方法） 1. 定义 先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法。 2. 步骤 反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； 归谬：从假设出发，经过推理得出矛盾（与已知、定理、公理等矛盾）； 结论：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题结论成立。 3. 应用举例 用反证法证明：经过同一直线上的三点不能作圆。 证明：假设过同一直线l上三点A、B、C能作圆，设圆心为O，则OA=OB=OC， ∴点O在AB和BC的垂直平分线上，而直线l上两点的垂直平分线平行，无交点， 与“有圆心O”矛盾，故假设不成立，原命题得证。 五、易错点与注意事项 1. 概念混淆 误将"三点确定一个圆"理解为"任意三点"，忽略"不在同一直线上"的条件。 混淆"外心"与"内心"：外心是三边垂直平分线交点（外接圆），内心是三角平分线交点（内切圆）。 2. 距离计算错误 计算点到圆心距离时，忽略坐标系中距离公式的应用（如点P(x,y)到O(a,b)的距离 3. 反证法步骤遗漏 归谬过程中未明确指出矛盾类型，或未完整否定假设。 巩固练习 一、选择题 1．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交， 故答案为：B. 【分析】根据反证法步骤：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定；则先假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 2．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：设直线的解析式为， ∵M（1，2），N（3，-3）， ， 解得：， ， A、当时，，∴不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，此选项不符合题意； B、当时，，∴（-3，5）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-3，5）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意； C、当时，，∴在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-1，7）与，不能确定一个圆，此选项符合题意； D、当时，，∴（1，-3）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（1，-3）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】由题意，用待定系数法求出直线的解析式，再把各选项中的点的横坐标代入函数解析式计算求出对应的纵坐标，与已知的纵坐标比较可判断点是否在直线MN上，然后根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可判断求解． 3．已知的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】D 【解析】【解答】解：∵平面内有一点到圆心O的距离为5，. ∴该点在圆外， ∴点N符合要求. 故答案为：D. 【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案. 4．在平面直角坐标系中，有一点，以原点为圆心，5为半径作，则点与的位置关系是（　　） A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．无法确定 【答案】C 【解析】【解答】解：点到圆心的距离， ， 点在上， 故选：C． 【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，进行判断即可. 5．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（　　）. A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 【答案】C 【解析】【解答】解：根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O，如图所示： ∵ ， ∴点M在圆上， 故答案为：C. 【分析】根据垂径定理确定圆的圆心O，再计算得到圆的半径，结合图像可知，即可判断点的位置。 6．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 【分析】点与圆存在三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①若则点在圆外；②若则点在圆上；③若则点在圆内．因此当点C在圆内时，则，当经过点A时，则，由 勾股定理可得，则要使得点A在圆外，则，即可求解． 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点，则满足： ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故答案为：C． 【分析】分别作出线段BD和AB的垂直平分线，它们的交点即是点D的坐标。 8．如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF=DC，点E是上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 【答案】D 【解析】【解答】解：连接AE，AF， ∵以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作，取上一点F使得DF=DC ∴AD=AE=AF=DF， ∴△ADF是等边三角形， ∴∠DAF=60°，∠ADE=∠DEA，∠AEF=∠AFE， ∵∠DAE+∠ADE+∠DEA=180°即2∠AED=180°-∠DAE， ∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°即2∠AEF=180°-∠EAF， ∴2∠AED+2∠AEF=360°-（∠DAE+∠EAF）=360°-∠DAF=300°， ∴∠AED+∠AEF=150°即∠DEF=150°. 故答案为：D 【分析】连接AE，AF，利用正方形的性质结合已知条件可知AD=AE=AF=DF，可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠DAF=60°，∠ADE=∠DEA，∠AEF=∠AFE；利用三角形的内角和定理可推出2∠AED=180°-∠DAE，2∠AEF=180°-∠EAF，由此可求出∠AED+∠AEF的值. 二、填空题 9．已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在　 　．（填内、外或上） 【答案】外 【解析】【解答】解：的直径为， 的半径为， ， ∴点P在外． 故答案为：外． 【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案. 10．如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为　 　（填，，，中的一个字母） 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，连接，，，， ∵， ∴表示最好成绩的点是点， 故答案为：． 【分析】连接，，，，根据边之间的关系即可求出答案. 11．如图，等腰内接于，点为劣弧上一点，，若，则四边形的面积为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，过点作的延长线于点， ， 又， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 在中，，， 根据勾股定理得：， 等边三角形的面积， 四边形的面积的面积等边三角形的面积． 四边形的面积为． 故答案为：． 【分析】过点作的延长线于点，先求出的面积和等边三角形的面积，再利用割补法求出四边形的面积的面积等边三角形的面积即可． 12．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝，则外接圆的半径为　 　，EF=　 　. 【答案】； 【解析】【解答】解：连接OE、OC ∵△ABC是等腰三角形 ∴∠BAC=∠ABC=30° ∠BOC=2∠BAC=2x30°=60° (同弧所对圆周角是圆心角一半) 又∵DB=OC ∴△BOC为等边三角形 ∴DB=OC=BC=即外接圆半径为 ∵AC=BC=，∠ACB=180"-∠BAC-∠ABC=120° ∴AB=6，AD=BD=3 过O作于点M ∵EF//BC ∴∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线) ∴OD= ∴，OM=OD×sin60°= ∴ ∴EF=2EM= 故答案为：第1空： ，第2空： 【分析】第1空：根据等腰三角形的性质得出：∠BAC=∠ABC=30° 从而求出∠BOC=60°，然后证明出△BOC为等边三角形，即可求出外接圆的半径. 第2空：根据已知条件求出AB的值，以及AD=BD=3，然后作辅助线，根据平行线的性质得出∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线)，从而求出OD和OM的长度，最后根据勾股定理求出EF的长. 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 　 　（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB=5，BC＝4， ∴AC=， ∵点C在⊙A内且点B在⊙A外， ∴⊙A半径的取值范围为：3<r<5， ∴r的值为4（答案不唯一）， 故答案为：4（答案不唯一）. 【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围，再求解即可. 14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为　 　 【答案】 【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°， 又AB=AC，∠ABD=∠ACM， ∴△ABD≌△ACM， ∴BD=CM． 由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM， ∴EC=EM， ∴BD=CM=2CE=． 【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解. 三、解答题 15．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，求线段OM的最小值． 【答案】解：设OP与O交于点N，连结MN，OQ，如图， ∵OP=4，ON=2， ∴N是OP的中点， ∵M为PQ的中点， ∴MN为△POQ的中位线， ∴MN= OQ= ×2=1， ∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上， 当点M在ON上时，OM最小，最小值为1， ∴线段OM的最小值为1. 【解析】【分析】根据题意，易知MN为△POQ的中位线，可根据中位线定理求得MN的长，可知点M在以N为圆心，MN为半径的圆上，​当点M在ON上时，OM最小，求得此时OM的值即可。 16．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长． 【答案】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2， ∵OA′•OA=22， 而r=2，OA=4， ∴OA′=1， ∵OB′•OB=22， ∴OB′=2，即点B和B′重合， ∵∠BOA=60°，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形， 而点A′为OC的中点， ∴B′A′⊥OC， 在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=， ∴A′B′=2sin60°=． 【解析】【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′，OB′，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长． 17．如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点． （1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） （2）若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径． 【答案】（1）解：如图所示：分别作弦和的垂直平分线，交点即为所求圆形部件的圆心； ​​​​​​​ （2）解：连接交于，如图所示： ，AB=AC， ，BC⊥OA. ， ， 设圆片的半径为， 在中，， 解得：， ​​​​​圆片的半径为． 【解析】【分析】（1）弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心，据此即可完成作图； （2）连接，记BC与AO相交于点D，根据垂径定理可得，再结合勾股定理可得的长；设圆片的半径为，在中利用勾股定理即可求解． （1）解：如图所示：分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心； （2）解：连接交于． ， ， ， ， 设圆片的半径为， 在中，， 解得：， 圆片的半径为． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点． （1）点 的坐标为 ． （2）判断点 与 的位置关系． 【答案】（1） （2）解：点在内. 【解析】【解答】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点， 与图可得点M坐标为：， 故答案为：（2，0）； （2）解：，，， ，， 点在内． 【分析】（1）利用方格纸的特点，分别作AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理，AB、BC垂直平分线的交点即为点M，结合图形直接写出点M的坐标即可； （2）利用两点间的距离公式算出AM、MD的长，然后根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案. （1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点， 坐标为：， （2）解：，，， ，， 点在内． 19．如图，在等腰直角中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径． （1）求的度数． （2）若的直径为2，求的值． 【答案】（1）解：∵，， ∴，∴． ∵PE是的直径，∴， ∴． （2）如图，过点P作于点M，于点N，则四边形是矩形， ∴． ∵，都是等腰直角三角形， ∴，． ∴． 【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质和同弧所对的圆周角相等得到 ，，再利用直径所对的圆周角是直角以及三角形内角和定理即可求解； （2） 过点P作于点M，于点N，可得四边形是矩形，进一步得到 ，再利用等腰直角三角形的性质得到 ，，从而得到 ，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$