解析几何中的多边形面积 学案-2025届高三数学二轮复习

解析几何中的多边形面积问题学案 班级：________ 学号：________ 姓名：________ 课标要求 1. 理解数学运算素养的内涵，包括在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题，具体涵盖理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等方面。 1. 在解析几何复习中，注重几何特征与代数结构的关联，通过整合主干知识与方法，把握运算对象和思路，优化数学运算路径。 学习目标 1. 学会解决解析几何中多边形面积问题，能通过求弦长、利用图形特征（如对角线垂直）建立面积函数表达式，并确定其取值范围或求解方程 1. 理解并运用优化运算路径的方法，如利用圆锥曲线定义、平面图形特征、代数结构统一性简化运算过程 核心素养 · 数学运算：通过选择运算方法、设计运算程序求解轨迹方程和面积问题，提升运算能力。 · 逻辑推理：从几何条件推理得出代数关系，如由垂直平分线性质推导轨迹定义、由弦长公式推导面积表达式 教学重点 1. 解析几何中多边形面积的计算，包括弦长的求解、面积函数表达式的建立及范围确定 1. 选择合理的运算方法。 教学难点 1. 把握几何特征与代数结构的关联，通过圆锥曲线定义、平面图形变换等优化运算路径，避免复杂运算 1. 在面积问题中灵活处理直线斜率存在与否的情况，合理选择分类讨论或统一表达式的方法 【知识梳理】 一、核心知识框架梳理 （1）相关问题涉及的基本概念： - 弦长：直线与曲线相交所得线段的长度，需结合韦达定理计算。 - 多边形面积：解析几何中多为四边形面积，常用对角线垂直时的面积公式（对角线乘积的一半）。 （2）关键公式： - 椭圆标准方程：（，，为焦距）。 - 弦长公式：（为直线斜率）。 - 对角线垂直的四边形面积公式：（为对角线长度）。 （3）常见问题模型： - 多边形面积模型：直线与椭圆、圆相交形成的四边形，通过弦长和垂直关系求面积 （4）重要数学思想方法： - 数形结合思想：通过画图分析几何特征，转化为代数运算 - 分类讨论思想：针对直线斜率存在与否分情况求解。 - 优化运算思想：利用代数结构统一性（如设直线为避免分类讨论）、圆锥曲线定义简化运算。 二、解题思路步骤 多边形面积问题解题步骤： 1. 设直线方程（根据斜率是否存在选择形式，如或）； 2. 联立直线与曲线方程，利用韦达定理求弦长； 3. 分析多边形结构（如对角线垂直），建立面积表达式； 4. 结合函数性质（如二次函数、不等式）确定面积范围或求解方程 【题型分类讲解】 例题讲解 例：设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点。 （I）证明为定值，并写出点的轨迹方程； （II）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围。 变式1：（广东省广州市2021届普通高中毕业班综合测试第21题）已知点，点是圆：上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线。 （I） 求的方程； （II） 过点作倾斜角互补的两条直线，，若直线与曲线交于，两点，直线与圆交于，两点，当，，，四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程。 变式2：（2024年九省适应性测试卷第18题改编）已知椭圆的右焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点。 （I） 证明直线过定点； （II） 设为直线与直线的交点，求面积的最小值。 【课堂小结】 解决解析几何中多边形面积问题的思路： 首先根据题目条件画出草图，分析图形的几何特征； 然后选择合适的方法求相关弦长，如利用直线与曲线方程联立，结合根与系数的关系计算弦长； 再根据多边形的形状，选择合适的面积公式建立面积的函数表达式； 最后根据函数的性质确定面积的取值范围或求解方程。 在整个过程中，要充分利用圆锥曲线的定义和性质、平面图形的特征与变换、代数结构的统一性来优化运算路径。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 例题题目 （2016年高考数学全国I卷理科第20题）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点。 （I）证明为定值，并写出点的轨迹方程； （II）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围。 解答过程 （I）证明与轨迹方程求解 1. 分析圆的方程与圆心 · 圆的方程可化为标准形式：，因此圆心，半径。 1. 几何关系推导 · 由（均为圆的半径），且，可得，故。 · 因此（定值）。 1. 确定轨迹类型 · 点、为定点，且，满足。 · 根据椭圆定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆（剔除与轴的交点，因直线与轴不重合）。 1. 求轨迹方程 · 设椭圆方程为，则（），（）。 · 由，得轨迹方程：（）。 （II）四边形面积取值范围求解 1. 分情况讨论直线斜率 · 情况1：直线与轴不垂直 · 设直线的方程为（），联立椭圆方程，化简得： · 由根与系数关系，，，弦长： · 过且与垂直的直线方程为，圆心到的距离，弦长： · 四边形面积，因，得。 · 情况2：直线与轴垂直 · 直线方程为，此时，，面积。 1. 综合取值范围 · 综上，四边形面积的取值范围为。 答案总结 （I）定值为，点的轨迹方程为（）； （II）四边形面积的取值范围为。 变式1具体题目及解答过程 题目 （广东省广州市2021届普通高中毕业班综合测试第21题） 已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线。 （I）求曲线的方程； （II）过点作倾斜角互补的两条直线，，若直线与曲线交于，两点，直线与圆交于，两点，当，，，四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程。 解答过程 （I）求曲线的方程 1. 分析几何关系： · 圆的圆心为，半径。 · 因为点在的垂直平分线上，所以。 1. 推导轨迹条件： · 由（圆的半径），且与为定点，。 1. 确定椭圆方程： · 根据椭圆定义，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中（），（），。 · 故曲线的方程为： （II）求直线的方程 1. 设直线方程： · 设直线的斜率为，则的斜率为（倾斜角互补）。 · 直线的方程： · 直线的方程： 1. 求弦长： · 联立与椭圆的方程： · 化简得，由根与系数的关系： · 弦长。 1. 计算四边形面积： · 圆的直径为，故。 · 点，到直线的距离之和。 · 面积公式： 1. 求解斜率： · 由得： · 故直线的方程为： · 或 变式2具体题目及解答过程 题目 （2024年九省适应性测试卷第18题改编） 已知椭圆的右焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点。 （I）证明直线过定点； （II）设为直线与直线的交点，求面积的最小值。 解答过程 （I）证明直线过定点 1. 确定焦点坐标： · 椭圆中，，，故，右焦点。 1. 设直线方程并求中点： · 若直线的斜率为，则，垂线（）。 · 联立与，利用韦达定理得中点。 · 同理得中点。 1. 推导直线的方程： · 化简斜率与方程后，验证得直线恒过定点。 · （特殊情况：当垂直或平行于轴时，直线仍过此点。） · 故直线过定点： （II）求面积的最小值 1. 分析交点的坐标： · 联立直线与的方程，结合对称性可知在直线上。 1. 表达面积公式： · 由（I）知过定点，弦长。 · 点到的距离为定值，故面积： 1. 求最小值： · 令，化简得（当时取等号）。 · 故面积的最小值为： 学科网（北京）股份有限公司 $$