3.1.2函数表示学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法

【课前预习】

一．函数的三种表示方法

注意：同一个函数可以用不同的方法表示．

二．函数的三种表示方法的优缺点

【自主练习】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　)

(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)

(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　)

(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．(　　)

 

2.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于 (　　)

A.1　　　　   B．2　　    C．3　　      D．不存在

【经典例题】

题型一 函数的表示法

点拨：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．

例1 某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．

 

 

 

 

【变式探究】1 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

(1)f(g(3))＝__________；    (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.

题型二　图象法表示函数

点拨：作函数图象的步骤及注意点

(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.

例2 作出下列函数的图象并求出其值域．

(1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．

 

 

 

【变式探究】2 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

题型三  求函数解析式

角度1：待定系数法

点拨：待定系数法

若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

常见的函数的解析式：

(1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0；(2)正比例函数：y＝kx，k≠0；(3)反比例函数：y＝，k≠0；(4)一元二次函数：①一般式：y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式：；

③两点式：.其中a≠0，顶点，根x1，x2.

例3 已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．

 

 

 

【变式探究】3已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.

角度2：换元法和配凑法

点拨：已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.

②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.

例4 已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式。

 

 

 

【变式探究】4已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．

角度3：方程组法

点拨：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

例5 已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．