1.4 二次函数的应用 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

1.4 二次函数的应用 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.某拱桥的截面是抛物线形，如图所示在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为，当水面宽时，水面到拱桥顶点的距离为(    ) A. B. C. D. 2.如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是(    ) A. B. C. 或 D. 3.如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，另一边长为，矩形的面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面，喷头距抛物线对称轴，则为使水不落到池外，水池半径最小为(    ) A. B. C. D. 5.如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部(    ) A. B. C. D. 6.如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员把铅球推出多远(    ) A. B. C. D. 7.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分如图，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是(    ) A. B. C. D. 8.如图，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看成是一条抛物线建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为，则该同学此次投掷实心球的成绩是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.某快餐店销售、两种快餐，每份利润分别为元、元，每天卖出份数分别为份、份该店为了增加利润，准备降低每份种快餐的利润，同时提高每份种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份种快餐的利润每降低元可多卖份，每份种快餐的利润每提高元就少卖份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是          元 10.二次函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是           __． 11.某商场以每件元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量件与每件的销售价格元满足一次函数关系，其图象如图所示，则该商场每天销售这种商品的销售利润元与每件的销售价格元之间的函数关系式为          ． 12.某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱桥都为抛物线的一部分，拱高抛物线最高点到桥面的距离都为米，三条抛物线依次与桥面相交于点，，，则桥长___          ___米． 13.如图是某座抛物线形的廊桥示意图抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是______米 14.如图，船位于船正东处，现在，两船同时出发，船以的速度朝正北方向行驶，船以的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是______． 15.二次函数的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是          ． 16.如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶上金色纸边，制成一幅矩形挂画，设挂画总面积为，金色纸边的宽为，则与的关系式是          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，一块草地是长为、宽为的矩形，要在中间修筑互相垂直且宽为的小路，如果草坪面积为，求与之间的函数表达式． 18.本小题分 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点到的距离是，以所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 抛物线对应的函数表达式是          ． 已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离随时间的变化满足函数关系式，且当顶点与水面的距离不大于时，需禁止船只通行请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行 19.本小题分 某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度和点燃后的时间的函数表达式为，其中重力加速度烟花点燃后以的初速度上升． 这种烟花在地面上点燃后，经过多少时间离地面？ 在烟花点燃后的至这段时间内，判断烟花是上升，或是下降？说明理由． 20.本小题分 某涵洞的横断面呈抛物线形，现测得底部的宽，涵洞顶部到底面的最大高度为在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式． 21.本小题分 有一块如图所示的铁片下脚料，其中曲线是一条抛物线的一部分要裁出一个最大的正方形时，把正方形的一边放在线段上，对边的端点放在抛物线上，求这个正方形的边长精确到． 22.本小题分 某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳到人梯顶端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是抛物线的一部分，如图所示． 求演员弹跳时离开地面的最大高度． 已知人梯高，在一次表演中，如果人梯到起跳点的水平距离是，那么这次表演是否成功请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的实际应用． 在本题中，实际是告知自变量的值求函数值，因此把或直接代入解析式即可解答． 【解答】 解：依题意，设点坐标为 代入抛物线解析式得： 即水面到桥拱顶点的距离为米， 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式之间的联系：根据当时，利用图象得出不等式解集是解题关键． 根据二次函数的图象与轴交点坐标即可得到不等式的解集． 【解答】 解：根据图象得二次函数的图象与轴交点坐标为，， 而，即， 故或． 故选C． 3.【答案】  【解析】由题意得，即， ，故选A． 4.【答案】  【解析】解：如图建立坐标系抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的表达式是， 把代入表达式，得，解得， 则抛物线的表达式是：． 当时，， 解得，舍去． 则水池的最小半径是． 5.【答案】  【解析】解：如图，以边所在直线为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 则点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， 设抛物线的表达式为， 把点坐标代入，解得， 所以， 把代入， 可得， 解得 即设备的右侧离开门边时，此设备运进车间时才不会碰到大门的顶部． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】解：当时，， 解得舍去，， ． 8.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， 令，则，整理得，解得，舍去， 该同学此次投掷实心球的成绩为，故选D． 9.【答案】  【解析】解：设每份种快餐的利润降低元，每份种快餐的利润提高元，则每天卖出种快餐份，卖出种快餐份． 由题意可得，， ， 设这两种快餐一天的总利润为元， 则 ， ， 当时，取得最大值，为， 即这两种快餐一天的总利润最多为元． 10.【答案】  【解析】解：由题图知二次函数的图象与轴的交点坐标为，， 对称轴为直线，点在二次函数图象上， 根据抛物线的对称性可知其对称点为， 数形结合知当时，． 11.【答案】  【解析】设出一次函数的一般表达式，将代入得： 解得：，， 即， 每件商品的利润为，所以每天的利润为： 函数解析式为 12.【答案】  【解析】【分析】 根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后即可得到抛物线的顶点坐标，再令，即可得到的长，从而可以求得的长． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【解答】 解：如图，以线段的中垂线为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线解析式为， 当时，，， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 即桥长为米； 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯， 、两点的纵坐标都为， 把代入解析式，得： ， 解得：，， 米， 故答案为：． 根据题意可知、两点是关于轴对称的，且纵坐标都为，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出的长度． 本题考查二次函数的应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设时两船相距为，则，， 由题意可知 ， 故当时，即时两船相距最近， ， 答：两船出发小时后相距最近，最近距离是． 故答案为：． 利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可． 本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度中等． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】   【解析】由题意得，即与的关系式是． 17.【答案】解：方法 ， 与之间的函数表达式是， 其中． 方法利用图形的平移，将草坪化为如图所示的矩形，则与之间的函数表达式为．   【解析】见答案 18.【答案】解： 当顶点与水面的距离不大于时，， 把代入，解得，． ． 故需禁止船只通行．   【解析】见答案 19.【答案】【小题】 解：当，时，． 当时，，解得，舍去． 这种烟花在地面上点燃后，经过离地面． 【小题】 在烟花点燃后的至这段时间内，烟花是上升的．理由如下： 由知． ，这个二次函数的图象开口向下， 当时，随的增大而增大，在烟花点燃后的至这段时间内，烟花是上升的．   【解析】 见答案  见答案 20.【答案】解：，点到轴的距离为涵洞顶部到底面的最大高度是，点到轴的距离为又点在第三象限，点的坐标为设抛物线所对应的二次函数表达式为，将点的坐标代入，得，，抛物线所对应的二次函数的表达式为．  【解析】见答案 21.【答案】解：这个正方形的边长约为．  【解析】略 22.【答案】解：． 因为，所以函数的最大值是． 所以演员弹跳时离开地面的最大高度是 这次表演成功． 理由：因为当时，，所以这次表演成功．   【解析】见答案 第8页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$