1.4 二次函数的应用（3）　课件　2024—2025学年浙教版数学九年级上册

1.4 二次函数的应用（3） 第1章 二次函数 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 （1）会运用一元二次方程求二次函数与x轴或平行于x轴的直线的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题． （2）会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解． （3）进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模型经常需要互换． 复习回顾 【复习1】二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 当自变量x为全体实数时，由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 复习回顾 生活问题 表格分析 数学模型 提 炼 化 归 二次函数最值 自 验 利润最大值问题 距离最小值问题 几何图形 检 变 量 取 值 范 围 知识点一　二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，如果y＝0，那么就有ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它是关于x的一元二次方程． （1）当 Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个交点； （2）当 Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有且只有一个交点； （3）当 Δ＜0时，方程无实根，即二次函数的图象与x轴没有交点． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解． 新知学习 新知学习 y=ax2+bx+c y x O 知识点二 二次函数的交点式 若一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解为x1和x2，则二次函数 y=ax2+bx+c的表达式可以表示为 y=a(x －x1) (x －x2) (a≠0). 【例1】二次函数y＝kx2－4x＋2的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____________ k<2且k≠0 例题探究 【例2】二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，图象经过点(1，0)，且对称轴为直线x＝－1，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是________________． x1＝－3，x2＝1 例题探究 【例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是(　　) A．－1.5<x1<－1 B．－1<x1<－0.5 C．0.5<x2<1 D．1<x2<1.5 A x y －1.5 －0.22 －1 0.13 －0.5 0.38 0 0.53 0.5 0.58 1 0.53 1.5 0.38 2 0.13 2.5 －0.22 例题探究 例题探究 【例4】 已知二次函数y＝x2＋bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是______. 例题探究 例题探究 例题探究 例题探究 【例6】已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0). (1)求证：不论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根. (2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且|x1－x2|＝6，求m的值. (3)若m＞0，点P(a，b)与点Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上(点P，Q不重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值. 例题探究 学以致用 【1】若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则常数m的值为__________ 【解析】当m＝0时，y＝mx2＋2x＋1＝2x＋1为一次函数，函数图象与x轴只有一个交点，则m＝0满足题意； 当m≠0时，y＝mx2＋2x＋1为二次函数，若函数图象与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝4－4m＝0，解得m＝1. 综上所述，常数m的值为0或1. 此题易因忽视m＝0的情况而漏解． 0或1 学以致用 【2】如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是(　　) A．x≤－3或x≥1 B．x≤－1或x≥3 C．－3≤x≤1 D．－1≤x≤3 D 学以致用 【3】一元二次方程x2＋bx＋c＝3的两个根分别为m和n(m<n)，若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的交点为x1，x2(x1<x2)，则对于x1，x2的范围描述正确的是(　　) A．m<x1<x2<n B．x1<m<n<x2 C．m<n<x1<x2 D．x1<m<x2<n 【解析】由题意可把一元二次方程x2＋bx＋c＝3的两个根m，n看成二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与直线y＝3的两个交点的横坐标，而二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标为x1，x2，则可得如图所示的图象：由函数图象可得m<x1<x2<n. 学以致用 【4】已知方程ax2＋bx＋4＝0的解为x1＝－4和x2＝1. (1)求抛物线y＝ax2＋bx＋4的表达式； (2)设抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点N是抛物线上异于点C的一个动点．作直线AC，当点N位于直线AC上方时，过点N作NQ⊥AC于点Q.当NQ的长度最大时，求点N的坐标． 学以致用 学以致用 【5】如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上的点F处，折痕为AE.已知AB＝8，AD＝10，并设点B的坐标为(m,0)，其中m＞0. (1)求点E，F的坐标；(用含m的式子表示) (2)连结OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值； (3)如图2，设抛物线y＝a(x－m－6)2＋h经过A，E两点，其顶点为点M，连结AM，若∠OAM＝90°，求a，h，m的值． 学以致用 学以致用 课堂小结 1.利用二次函数的图象求得的一元二次方程的解往往是近似解. 3.注重问题解决过程中二次函数与一元二次方程这两种数学模型的转换.