2.4分式方程 同步练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）八年级数学上册《2.4分式方程》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 5．对于两个非零实数a、b，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 7．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知分式方程的解为，则的值为 ． 9．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 10．如果将电阻并联，电路中的总电阻用表示，那么他们之间满足公式，已知，则 ． 11．若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 12．已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为 ． 13．从，，，1，3这5个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是 ． 14．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．若代数式的值比的值大1，求的值． 17．阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为　　　． (2)模仿上述换元法解方程：． 18．长春市到沈阳市的距离约为300千米．小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从长春市去沈阳市．小刘比小张晚出发小时，最后两车同时到达沈阳市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．求大货车的速度． 19．某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积40万亩的任务．后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加，而且要提前2年完成任务，经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多3万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 20．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 参考答案 1．解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 2．解： 去分母得 故选：D 3．解：方程两边同时乘以得：， 解得， 经检验是原方程的解， 故选：A． 4．解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验： 当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 5．解：根据题中定义，， 将方程整理为：， 则， 解得：， 检验：当时，，满足条件， 因此，的值为． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键． 根据“第二次每人所得与第一次相同”，列方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 8．3 【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：3． 9． 【分析】本题考查的是利用换元法解分式方程，一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的思想． 利用换元法先得出，化为分式方程，然后再去分母，整理成整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴可化为， 整理得 故答案为：． 10． 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】解： ，即， ， ， 故答案为：， 11．或2 【分析】本题考查的是分式方程无解的情况，关键是化为一元一次方程，把增根（让分母等于 0 的数）代入整式方程．分式方程无解，就是考虑两个方面，一是增根，二是化成的一元一次方程的系数为 0 ． 【详解】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 故答案为：或 2 ． 12． 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为： ． 13． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．不等式组中两不等式整理后，由不等式组无解确定出的范围，进而舍去不合题意的值，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出满足题意的值，求出之和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到，即，，，， 分式方程去分母得：， 解得： ， 又则舍去， 又分式方程的解为整数，则舍去， ∴或， 所有满足条件的的值之和是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 15．(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤，解方程即可； （2）根据解分式方程的步骤，解方程即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得：， 去括号、移项，合并，得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根， ∴方程的解为：； （2） 方程两边同乘，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 检验：把代入分母，得0， ∴该方程无解． 16． 【分析】本题考查了列分式方程，解分式方程，先化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵代数式的值比的值大1， ∴， ∴， 则， ∴， 解得； 经检验：当时，则，故是原分式方程的解． 17．(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解分式方程； （1）根据换元法化简方程即可； （2）利用换元法解分式方程求出x的值，并检验解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 故答案为：； （2） 解：设m， 则原方程化为m0， 解得：，， 经检验，，都是方程m0的解， 当3时， 解得：， 经检验，是方程3的解； 当3时， 解得：， 经检验，是方程3的解； 故原方程的解为或． 18．大货车的速度为70千米/时 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，首先设大货车的速度为千米/时，则小轿车的速度为千米/时，根据题意可得等量关系：大货车行驶时间小轿车行驶时间小时，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设大货车的速度为千米/时，由题意得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：大货车的速度为70千米/时． 19．原计划平均每年的绿化面积为万亩 【分析】本题考查的是分式方程的应用，掌握列方程解应用题的基本步骤是解题关键． 设原计划每年的绿化面积万亩，用代数式表示原计划的时间与实际完成任务的时间，利用时间相差年列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每年的绿化面积万亩， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，均为原方程的解，但不合题意舍去， 答：原计划平均每年的绿化面积为万亩． 20．(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$