17.1 用提公因式法分解因式 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

17.1.2 用提公因式法分解因式 1 由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c) 这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.像这种分解因式的方法叫做___________. 它的各项都有一个公共的因式p ,我们把因式p 叫做这个多项式的 _________ . 观察多项式 pa+pb+pc 公因式 提公因式法 新知探究 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法分解因式： pa+pb+pc=p(a+b+c) 新知探究 注意： (1)因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形； (2)因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分.因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解. 重点： (1)因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式； (2)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 新知探究 公因式： 一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 公因式的确定： (1)确定公因式的系数：当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数就是多项式中各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数； (2)确定相同字母：公因式应取多项式各项中的相同的字母； (3)确定公因式中相同字母的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数； (4)确定公因式：由步骤(1)——(3)写出多项式的公因式. 提公因式法因式分解 新知探究 提公因式法的一般步骤： (1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； (2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式. 归纳总结 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法分解因式： pa+pb+pc=p(a+b+c) 提公因式法的一般步骤： (1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； (2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式. 课堂小结 知识点一：提公因式法分解因式的步骤 1. 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)； ③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂； (2)提公因式并确定另一个因式，特别要注意另一因式的项数与原多项式的项数相同； (3)把结果写成公因式与另一个因式的乘积的形式． 能力提升 2. (1)多项式12ab2－8a2bc的公因式是( ) A．4ab    B．4a2b2 C．2ab    D．2abc (2)多项式3a2b2－15a3b3－12a2b2c的公因式是( ) A．3a2b2    B．－15a3b3 C．3a2b2c    D．－12a2b2c (3)(a－b)2与2(a－b)的公因式是__________； A A (a－b) (4)分解因式：2ab2－6a2b2； 解：原式＝2ab2(1－3a) (5)分解因式：(x－1)2＋3(x－1). 解：原式＝(x－1)(x－1＋3)＝(x－1)(x＋2) 知识点二：利用提公因式法分解因式后再求值 3. 对于某些代数式求值，可先利用提公因式法分解因式化简，再求值，可简化计算． 4. 先分解因式，再求值：2xy2－2x2y.其中x＝3，y＝2. 解：原式＝2xy(y－x)， 当x＝3，y＝2时，原式＝2×3×2×(2－3)＝－12 【典例导引】 5. 【例1】分解因式： (1)2ap－4aq＋6am； 解：原式＝2a(p－2q＋3m) (2)12xyz－9x2y； 解：原式＝3xy(4z－3x) (3)6a2b－9ab2＋15ab. 解：原式＝3ab(2a－3b＋5) 【变式训练】 6. 分解因式： (1)4x2y－8xy＋2xy2； 解：原式＝2xy(2x－4＋y) (2)－4a3b3＋6a2b－2ab； 解：原式＝－2ab(2a2b2－3a＋1) (3)－3a3m＋6a2m－12am. 解：原式＝－3am(a2－2a＋4) 7. 【例2】分解因式： (1)a(x－3)＋2b(x－3)； 解：原式＝(x－3)(a＋2b) (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2. 解：原式＝y(x＋1)(1＋xy＋y) 8. 分解因式： (1)6(x－3)＋x(3－x)； 解：原式＝6(x－3)－x(x－3)＝(x－3)(6－x) (2)9a(x－y)2＋3b(y－x)2. 解：原式＝9a(x－y)2＋3b(x－y)2＝3(x－y)2(3a＋b) 9. 【例3】 先分解因式，再求值：4a2(b－7)－2(b－7)，其中a＝－1，b＝2. 解：原式＝2(b－7)(2a2－1)， 当a＝－1，b＝2时，原式＝2×(2－7)×(2－1)＝2×(－5)×1＝－10 10. 先分解因式，再求值：a(a－b)－b(b－a)＋(a－b)2，其中a＝－2，b＝3. 解：原式＝a(a－b)＋b(a－b)＋(a－b)2＝(a－b)(a＋b＋a－b)＝2a(a－b)， 当a＝－2，b＝3时，原式＝2×(－2)×(－2－3)＝20 $$17.1.1 因式分解与提公因式法的概念 1 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式. 学习目标 学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积． a b c m 方法一：m(a + b + c) 方法二：ma + mb + mc m(a + b + c) = ma + mb + mc 整式乘法 ? 情境引入 计算下列各式: (1)x(x+1)=_______;(2)(x+1)(x-1)=_______. （3）(x+1)2 = . x2+x x2-1 请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1)x2+x =__________;(2)x2–1=__________. （3）x2+2x+1= . x(x+1) (x+1)(x-1) 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 新知探究 x2+2x+1 (x+1)2 pa+pb+pc 因式分解 整式乘法 p(a+b+c) 因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 归 纳 新知探究 整式 乘积 分解因式 自学自研 B 知识点二：用提公因式法分解因式 3. (1)多项式的各项中都有一个公共的因式叫作这个多项式各项的____________； (2)如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作______________． 公因式 提公因式法 4. (1)多项式x＋x2中各项的公因式是( ) A．x2    B．x    C．2x    D．1 (2)多项式ax＋ay中各项的公因式是( ) A．x    B．y    C．a    D．x＋y (3)多项式2x2＋4y2中各项的公因式是( ) A．2    B．x    C．y    D．2x＋y (4) 因式分解：a2－3a＝____________． B C A a(a－3) 知识点三：用提公因式法简便计算 5. 用提公因式法对式子恒等变形时，有时可以进行简便计算． 6. 用简便方法计算：12×28＋28×13－15×28. 解：原式＝28×(12＋13－15)＝28×10＝280 D 能力提升 【变式训练】 8. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A．x2－x－1＝x(x－1)－1 B．x2－1＝(x－1)2 C．x2－x－6＝(x－3)(x＋2) D．x(x－1)＝x2－x C 9. 【例2】多项式x2＋6x中各项的公因式是______． x 10. 多项式mn＋m2＋mp中各项的公因式是______． m 11. 【例3】分解因式： (1) a2－ab＝__________； (2) x2＋x＝__________． a(a－b) x(x＋1) 12. 分解因式： (1) a2＋2a＝___________； (2) m2－5m＝___________． a(a＋2) m(m－5) 13. 【例4】分解因式： (1)x2－10x； 解：原式＝x(x－10)   (2)3x2－6xy＋x. 解：原式＝x(3x－6y＋1) 14. 分解因式： (1)3a2＋9； 解：原式＝3(a2＋3)   (2)－x3＋2ax－x. 解：原式＝－x(x2－2a＋1) 15. 【例5】 利用因式分解计算： (1)2.182－0.18×2.18； 解：原式＝2.18×(2.18－0.18)＝2.18×2＝4.36   (2)20×1.23＋62×1.23＋18×1.23； 解：原式＝1.23×(20＋62＋18)＝1.23×100＝123 16. 利用因式分解计算： (1)7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09； 解：原式＝1.09×(7.56＋6－12.56)＝1.09×1＝1.09    (2)2×311－5×310＋6×39. 解：原式＝39×(2×32－5×3＋6)＝39×9＝311 知识点一：因式分解的概念 1. (1)把一个多项式化成了几个__________的________的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式____________； (2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即互逆运算．例如： pa＋pb＋pc eq \o(⥫==⥬,\s\up22(因式分解),\s\do8(整式乘除))p(a＋b＋c)； (3)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 2. 下列属于因式分解的是( ) A．x2－10＝(x－2)(x－5) B．x2－3x－10＝(x－5)(x＋2) C．a4－ eq \f(1,b4)＝(a2＋ eq \f(1,b2))(a＋ eq \f(1,b))(a－ eq \f(1,b)) D．a2－b2＋ax＋bx＝(a＋b)(a－b)＋x(a＋b) 【典例导引】 7. 【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A．8a2b＝2a·4ab B．－ab3－2ab2－ab＝－ab(b2＋2b) C．4x2＋8x－4＝4x(x＋2－ eq \f(1,x)) D．4my－2＝2(2my－1) $$