14.3.1 角的平分线性质 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3.1 角平分线的性质 1 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA于D,PE⊥OB于E， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）， ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 方法归纳 课堂练习 2. 如图，已知△ABC，用尺规作图作角平分线CD.(保留作图痕迹，不要求写作法) 解：如图所示，CD即为所求 知识点二：角的平分线的性质 3. 角的平分线上的点到角两边的距离________． 几何语言： 如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，PM＝2 cm，则PN＝____cm. 相等 2 4. 如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)， ∴PD＝PE 知识点三：角的平分线的性质的应用 5. (1)已知一个点在角的平分线上时，一般过点向角的两边作垂线，应用角平分线的性质得到线段相等； (2)有时可利用角的平分线构建全等三角形，得到线段相等解决问题． 6. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC＝DC，你能说出BE与DF的数量关系吗？为什么？ 解：BE＝DF， 理由：∵∠1＝∠2，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∴Rt△DCF≌Rt△BCE(HL)， ∴BE＝DF 【典例导引】 7. 【例1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( ) A.OE是∠AOB的平分线 B．OC＝OD C．点C，D到OE的距离不相等 D．∠AOE＝∠BOE C 【变式训练】 8. 如图，∠AOC＝∠BOC，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E，F，则下列结论错误的是( ) A.PE＝PF B．∠EPO＝∠FPO C．OE＝OF D．OE＝PE D 9. 【例2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为( ) A．60    B．30    C．15    D．10 C 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D.若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为____． 4 11. 【例3】 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 又∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴∠B＝∠C 12. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝DF，求证：CF＝EB. 证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC. ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)， ∴CF＝EB 13. 【例4】(2025·广州天河区月考)如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分线交于点P，PE⊥AB交AB的延长线于点E，PF⊥AC交AC的延长线于点F，求证：BC＝BE＋CF. 证明：作PH⊥BC于H， ∵CP是∠FCB的平分线，PF⊥AC，PH⊥BC， ∴PF＝PH. ∵CP＝CP， ∴Rt△PCF≌Rt△PCH(HL)， ∴CF＝CH，同理，BH＝BE， ∴BC＝CH＋BH＝BE＋CF 14. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB，交AB于点F，EG⊥AC，交AC的延长线于点G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论． 解：相等． 证明：连接EB，EC， ∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG. ∵ED⊥BC，D是BC的中点， ∴∠BDE＝∠CDE＝90°，BD＝CD. 又∵DE＝DE， ∴Rt△BDE≌Rt△CDE(HL)， ∴BE＝CE. ∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)， ∴BF＝CG 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 知识点一：作已知角的平分线 1. 作已知角的平分线的步骤： (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N； (2)分别以点M，N为圆心，大于 eq \f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； (3)作射线OC，射线OC即为所求． 在△PDO和△PEO中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠PDO＝∠PEO＝90°，,∠POD＝∠POE，,OP＝OP，)) 在Rt△DCF和Rt△BCE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(CF＝CE，,DC＝BC，)) 在Rt△CDF和Rt△EDB中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(DF＝DB，,DC＝DE，)) 在Rt△EFB和Rt△EGC中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(EB＝EC，,EF＝EG，)) $$