16.3.1 平方差公式 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

16.3.1　平方差公式 1 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. 学习目标 思考：观察下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1)(x+1)(x-1)= (2)(m+2)(m-2)= (3)(2x+1)(2x+1)= x·x-x+x-1=x2-12 m·m-2m+2m-4=m2-4=m2-22 2x·2x-2x+2x-1=(2x)2-1=(2x)2-12 你发现了什么？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 结论： 新知探究 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)= a2-b2 . a2-ab+ab-b2= 公式变形: 1.（a-b)(a+b)=a2-b2 2.（b+a)(-b+a )=a2-b2 新知探究 平方差公式的特征: 两个数的和 这两个数的差 这两数的平方差 相同 相反数 平方差 平方差公式的特征： 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同， 另一项互为相反数. 2.右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） 3.公式中的a，b既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式. (a+b)(a-b)=a2-b2. 新知探究 思考：根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ 分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是_______，宽是______，面积___________. a2-b2 a+b a-b (a+b)(a-b) 新知探究 例1 运用平方差公式计算： (1)(3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y). 解：(1)原式=(3x)2－22 =9x2－4； (2)原式=(-x)2 - (2y)2 =x2 - 4y2. (a + b)( a - b) = a2 - b2 分析： (3x＋2)( 3x－2 )=(3x)2－22 典例精析 知识点一：平方差公式 1. (1)两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的__________，用字母表示为(a＋b)(a－b)＝__________； (2)能用平方差公式进行运算的式子特征： ①二项式与二项式的积； ②有一项相同，另一项______________． 平方差 a2－b2 互为相反数 能力提升 2. 如图是阴影部分变化前后的示意图． 根据图中的图形面积关系可以说明的公式是____________________． (a＋b)(a－b)＝a2－b2 知识点二：平方差公式的常用变形 3. 平方差公式常见的几种类形： (1)位置变化：(a＋b)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (2)符号变化：(－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝－(a2－b2)＝b2－a2； (3)系数变化：(k1a＋k2b)(k1a－k2b)＝(k1a)2－(k2b)2＝k12a2－k22b2(k1，k2均不为0)； (4)指数变化：(an＋bn)(an－bn)＝(an)2－(bn)2＝a2n－b2n(n为正数数)； (5)连用公式变化：(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝a4－b4. x2－4 x4－y2 a4－81 －6 知识点三：平方差公式的巧用 5. (1)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式； (2)对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 6. 用平方差公式计算：102×98. 解：由平方差公式，得102×98 ＝(100＋2)(100－2) ＝1002－22 ＝10 000－4 ＝9 996 【典例导引】 7. 【例1】 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是( ) A．(a－b)(a＋b)＝a2＋b2 B．(a－b)(a＋b)＝a2－b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B 【变式训练】 8. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为( ) A．(a－b)2＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D x2－4 10. 计算： (1)(3m－2n)(－3m－2n)＝________________； (2)(－2b－5)(2b－5)＝________________． 4n2－9m2 25－4b2 11. 【例3】计算：(x＋2)(x－2)＋(3x－1)(3x＋1). 解：原式＝x2－4＋9x2－1＝10x2－5 12. 计算：(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(2x－3). 解：原式＝9x2－16－(4x2－9)＝9x2－16－4x2＋9＝5x2－7 13. 【例4】计算：51×49. 解：原式＝(50＋1)(50－1)＝502－1＝2 499 14. 利用乘法公式计算：5002－499×501. 解：原式＝5002－(500－1)×(500＋1) ＝5002－(5002－1) ＝5002－5002＋1 ＝1 15. 【例5】利用乘法公式计算：(2＋1)×(22＋1)×(24＋1). 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即：两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2-b2 = (a+b)(a-b) 课堂小结 Lavf57.83.100 4. (1)计算： ①(2x＋ eq \f(1,2))(2x－ eq \f(1,2))＝____________； ②(－x＋2)(－x－2)＝____________； ③(x2＋y)(x2－y)＝____________； ④(a＋3)(a－3)(a2＋9)＝____________； (2)已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝________． 4x2－ eq \f(1,4) 9. 【例2】计算： (1)(x＋2)(x－2)＝____________； (2)( eq \f(1,3)＋a)(a－ eq \f(1,3))＝____________． a2－ eq \f(1,9) 16. 利用乘法公式计算：1002－992＋982－972＋…＋22－12. 解：原式＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝ eq \f((100＋1)×100,2)＝5 050 $$