第十章 二元一次方程组复习讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 考情分析 高频考点​ 二元一次方程（组）的概念判断：★★★ 核心考查 “二元”（含两个未知数）和 “一次”（未知数最高次数为 1）的本质特征，常见题型为判断选项中的方程（组）是否为二元一次方程（组）。 二元一次方程组的解法：★★★★★ 代入消元法：高频用于其中一个方程能直接用一个未知数表示另一个未知数的情况。 加减消元法：适用于两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数，或通过简单变形可达到该条件的情况。 二元一次方程组的实际应用：★★★★★ 高频考查场景：行程问题（路程 = 速度 × 时间，相遇 / 追及）、工程问题（工作量 = 效率 × 时间）、利润问题（利润 = 售价 - 成本）、配套问题（如零件数量匹配）、和差倍分问题（如人数、数量的和差关系）。 二元一次方程（组）的解：★★★ 考查内容：判断一组数是否为二元一次方程（组）的解（代入验证）、求二元一次方程的正整数解。 命题趋势 实际应用场景更贴近生活与文化 题目背景从传统的 “工程” 向 “环保（如垃圾分类运输）、科技（如无人机飞行）、传统文化（如《九章算术》《四元玉鉴》中的古算题）” 拓展，考查学生将文化情境转化为数学模型的能力。 未来可能增加 “跨学科融合” 题目，如结合物理（运动学）、经济（成本核算）等知识，增强实用性与综合性。 解法与应用结合更紧密 单纯考查 “解方程” 的题目占比下降，更多题目需先列方程组（应用）再求解（解法），形成 “列 - 解 - 验” 完整流程。例如广东省深圳市 2025 年真题 “求篮球和足球的单价”，需先根据 “购买数量与总费用” 列方程组，再用消元法求解，最后验证解的合理性（单价为正数）。 部分题目会加入 “解的实际意义分析”，如 “求租车方案的种数”，需在求解后根据实际情况筛选正整数解，考查数学应用的严谨性。 与其他知识点综合考查增多 与 “一元一次不等式（组）” 结合：如求实际应用中 “最省钱购买方案”“最多生产数量”，需先列方程组求单价 / 效率，再列不等式（组）确定取值范围，最后结合一次函数求最值。 与 “统计图表” 结合：根据条形图、扇形图中的数据信息，提取等量关系列方程组，如 “根据学生体育成绩统计图，列方程组求不同成绩段人数”，考查数据解读与方程建模的综合能力。 分值分析​ 选择题、填空题（3-4分/题），解答题（8-12分/题）二元一次方程组是中考 “应用题核心模块”，解答题（实际应用）是主要分值来源，直接决定该模块得分高低。 考生备考建议​ 夯实概念：抓定义、避误区制作 “概念辨析清单”，明确二元一次方程（组）的三个要素：①含两个未知数；②未知数最高次数为 1；③整式方程，逐一排除 “分式方程”“高次方程”“多未知数方程”；针对 “方程的解”，通过 “代入验证法”练习， 突破应用：分场景、学建模按 “场景分类” 整理典型题型，每类总结 “等量关系模板”：行程问题：相遇问题（甲路程 + 乙路程 = 总路程）、追及问题（快者路程 - 慢者路程 = 初始距离）；利润问题：总利润 =（单价 - 成本）× 销量、总费用 = 单价 × 数量；配套问题：如 “1 个桌面配 4 条桌腿”，则桌腿数量 = 4× 桌面数量；练习 “从题干中找等量关系”：圈画关键信息（如 “共”“比… 多”“是… 的几倍”“总价为”）。 综合提升：练结合、重验证针对 “方程组与不等式结合” 的题目，按 “先解方程组求基础量（如单价）→再列不等式确定范围（如购买数量）→最后求最值（如费用最低）” 的步骤练习；强调 “解的验证”：求解后需检查解是否满足实际意义（如人数、数量为正整数，单价为正数），避免出现 “负数人数”“小数台设备” 等不合理结果。 重要知识点​ 二元一次方程（组）的概念 定义：二元一次方程含有两个未知数，且未知数的最高次数为 1 的整式方程。 二元一次方程组由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组 判断方程是否为二元一次方程：先看是否为整式方程，再看未知数个数（2 个）和最高次数（1 次），三者缺一不可； 判断方程组是否为二元一次方程组：检查每个方程是否满足二元一次方程定义，且整体含两个未知数（不可多也不可少）。 二元一次方程组的解法 代入消元法步骤：①选一个系数较简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数（如y = ax + b）；②将其代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；③解一元一次方程，求一个未知数的值；④将求得的值代入y = ax + b，求另一个未知数的值；⑤写出方程组的解。 加减消元法步骤：①使两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数（若系数不满足，可乘适当的数变形）；②将两个方程相加或相减，消去该未知数，得到一元一次方程；③解一元一次方程，求一个未知数的值；④将求得的值代入原方程组中任意一个方程，求另一个未知数的值；⑤写出方程组的解。 ※代入消元法：用一个未知数表示另一个未知数时，移项要变号（如2x - y = 5变形为y = 2x - 5，不是y = 2x + 5）； ※加减消元法：乘系数变形时，方程两边每一项都要乘（如将x - 2y = 3乘 2，得2x - 4y = 6，不可漏乘 “3”）；相加 / 相减时注意符号（如3y - (-2y) = 5y）。 二元一次方程组的实际应用 解题步骤①设未知数：根据题意设两个关键未知数（通常设 “求什么设什么”，如求单价设 “篮球单价为x元，排球单价为y元”）；②找等量关系：从题干中提取两个独立的等量关系（如 “购买数量关系”“总费用关系”）；③列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组；④解方程组：用代入法或加减法求解；⑤验解：检查解是否满足方程组，且符合实际意义（如正整数、正数）；⑥答：用文字规范表述答案。 典型场景与等量关系应用 行程问题相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程；追及：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离；甲、乙两车从 A、B 两地相向而行，3 小时后相遇，甲速度为 60km/h，乙速度为xkm/h，A、B 两地距 300km，列方程：3×60 + 3x = 300。 利润问题：总费用 = 单价 × 数量；总利润 =（售价 - 成本）× 销量购买 2 个 A 商品和 3 个 B 商品共花 150 元，A 商品单价x元，B 商品单价y元，列方程：2x + 3y = 150。 配套问题：如 “1 个 A 配n个 B”，则 B 数量 =n×A数量生产桌面和桌腿，1 个桌面配 4 条桌腿，生产x个桌面，y条桌腿，列方程：y = 4x。 和差倍分：和：A + B = C；差：A - B = C；倍：A = nB甲人数比乙人数多 5 人，且甲人数是乙人数的 2 倍，设甲x人，乙y人，列方程组：。 ※设未知数不规范：未写单位（如 “设篮球单价为x”，应写 “x元”）；等量关系找错：混淆 “和” 与 “差”、“倍” 与 “分”，如将 “甲比乙多 3” 写成 “y - x = 3”（应为 “x - y = 3”）；忽略验解：如求得 “购买数量为负数” 或 “小数”，未及时修正，导致答案不合理。 金典习题 1． 【2025年四川省泸州市】《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2． 【2025年四川省宜宾市】我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 3． 【2025年四川省广安市】《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 4． 【2025年四川省成都市】中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5． 【2025 年四川省眉山市】我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6． 【2025年四川省达州市】《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7． 【2025年四川省自贡市】某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ） A. 7cm B. 8 C. 9 D. 8． 【2025年山东省】明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 9． 【2025年浙江省】手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ） A. B. C. D. 10． 【2025年黑龙江齐齐哈尔市】神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 11． 【2025年吉林省】吉林省长白山盛产人参，为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元，某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元。求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数。 12． 【2025年广西省】自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 13． 【2024 年浙江省杭州市】已知方程组，求x + 3y的值。 14． 【2024 年江苏省南京市】若关于x、y的方程组的解为，求a + b的值。 15． 【2024 年广东省广州市】某文具店销售 A、B 两种笔记本，购买 2 本 A 种笔记本和 3 本 B 种笔记本共需 28 元，购买 3 本 A 种笔记本和 2 本 B 种笔记本共需 27 元，求 A、B 两种笔记本的单价。 16． 【2022 年安徽省合肥市】已知方程组的解x与y的和为 12，求k的值。 17． 【2022 年湖南省长沙市】某工厂现有库存某种原料 1200 吨，用来生产 A、B 两种产品，每生产 1 吨 A 产品需这种原料 2 吨、生产费用 1000 元；每生产 1 吨 B 产品需这种原料 2.5 吨、生产费用 900 元，如果用来生产这两种产品的资金为 53 万元，那么 A、B 两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？ 18． 【2021 年河南省郑州市】若方程组与方程组的解相同，求m、n的值。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案及解析 1． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 2． 【答案】A 【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 3． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键． 根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可． 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 4． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 5． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． 6． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出相等关系是关键； 设每头牛值x金，每只羊值y金，根据：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，即可列出方程组. 【详解】解：设每头牛值x金，每只羊值y金， 可列方程组为：； 故选：D. 7． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 8． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 9． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 10． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 11． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 12． 【答案】（1） （2）特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【小问1详解】 此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 【小问2详解】 解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 13． 【答案】x + 3y = 9 【分析】先解方程组，由x - 2y = 1得x = 2y + 1，代入3x + y = 10，得3(2y + 1) + y = 10，展开：6y + 3 + y = 10，7y = 7，解得y = 1，x = 2×1 + 1 = 3，则x + 3y = 3 + 3×1 = 9，考查方程组求解与代数式求值结合。 14． 【答案】a + b = 5 【分析】将代入方程组得，两式相加得3a + 3b = 15，两边同时除以 3 得a + b = 5，考查根据方程组的解求参数值。 15． 【答案】A 种笔记本单价为 5 元，B 种笔记本单价为 6 元 【分析】设 A 种笔记本单价为x元，B 种笔记本单价为y元，列方程组，用加减消元法，①×3 - ②×2 得5y = 30，y = 6，代入①得2x + 3×6 = 28，2x = 10，x = 5，考查实际应用中的价格问题。 16． 【答案】k = 14 【分析】由x + y = 12得x = 12 - y，代入方程组，整理第一个方程得24 - 2y + 3y = k，y = k - 24，代入第二个方程36 - 3y + 5y = k + 2，36 + 2y = k + 2，把y = k - 24代入得36 + 2(k - 24) = k + 2，展开36 + 2k - 48 = k + 2，2k - k = 2 + 48 - 36，k = 14，考查方程组与已知条件结合求参数。 17． 【答案】A 产品生产 350 吨，B 产品生产 200 吨 【分析】设 A 产品生产x吨，B 产品生产y吨，列方程组，整理第一个方程得4x + 5y = 2400，第二个方程两边同时除以 100 得10x + 9y = 5300，由4x + 5y = 2400得x = ，代入10x + 9y = 5300求解，得x = 350，y = 200，考查实际生产中的原料和费用问题。 18． 【答案】m = 3，n = 2 【分析】先解，两式相加得2x = 4，x = 2，y = 3 - 2 = 1，将代入得，两式相加得4m = 12，m = 3，n = 8- 2×3 = 2，考查同解方程组问题。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$