22.3实际问题与二次函数（拱桥问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数（拱桥问题） 一、单选题 1．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（    ）米．    A．米 B．3米 C．米 D．4米 2．如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽为． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为； ②若水面由位置l下降，水面宽度为； ③若水面由位置l下降，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 4．如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在l时，水面宽4m，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m．则当水面宽为3m时，水位上升了（    ）    A．0.675m B．0.875m C．0.975m D．1.125m 5．如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（   ） A． B． C． D． 6．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ） A． B． C． D． 7．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小辉骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 10．如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米． 11．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 12．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米． 13．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 三、解答题 14．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 15．金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 16．如图是一个横截面近似于抛物线型的拱桥，以水平面所在直线为x轴，桥左边的着地点O为坐标原点建立平面直角坐标系，拱桥所在的抛物线近似的满足函数表达式．政府现要在桥上面建一个防雨棚，计划从距O点正上方3米远的B点开始搭建，到距A点正上方3米远的点C处结束，图中虚线为防雨棚，防雨棚所在抛物线近似的满足函数表达式． (1)求防雨棚所在抛物线的函数表达式； (2)请求出防雨棚最高点到桥面最高点的垂直高度差： 17．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 18．某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处点距离地面为．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该观景台所在抛物线的函数表达式； (2)为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5， 设抛物线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴支柱的高度为米． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． 2．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设二次函数关系式为，把点代入得：， ∴该二次函数的解析式为；故①正确； ②根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， 此时水面宽为；故②错误； ③根据水面由位置l下降，可知：把代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加；故③正确； 综上所述：正确的个数有①③两个； 故选B． 3．B 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 4．B 【分析】建立适当的直角坐标系，确定抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系：    可得抛物线的顶点坐标为 设抛物线的解析式为： 将点代入得：，解得： ∴ 令，则 即：则当水面宽为3m时，水位上升了0.875m 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用．建立适当的直角坐标系是解题关键． 5．D 【分析】解答此题关键是建立适当的坐标系，求得解析式，再根据题中数据要求代入计算即可． 以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出抛物线上三个点的坐标，求得抛物线的解析式，再代入对应数值解答即可． 【详解】解：如图，以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为， 设抛物线解析式为：， 把点坐标代入，解得， 所以， 把代入， 解得； 此时设备的右侧离开门边米， 所以为了设备运进车间时才不致于碰门的顶部，， 故选：D． 6．B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B、C的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当和时y的值，然后即可求解． 【详解】如图，由题意得，． 设抛物线的解析式为， 代入得，， ∴抛物线的解析式为． 当时，， 当时，． ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题，合理建立坐标系是解本题的关键． 【详解】建立如图所示坐标系，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为 抛物线过， 把代入 ， 两壁灯之间的水平距离为， 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 即， ∴对称轴为直线， ∵为， ∴当时，代入解析式得， 即， ∴点到的距离为， ∴酒杯总高度为， 故选：C． 9．20 【分析】本题考查二次函数的应用、抛物线与x轴的交点，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．根据题意可以求得抛物线的对称轴，从而可以得到a与b的关系，然后令，即可得到抛物线与x轴的交点，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 令，则， 代入，得： 解得，， ∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需：（秒）， 故答案为：20． 10． 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度． 【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则， ∴， 解得，， ∴， 即此时桥拱最高点P离水面的高度是米， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 12．4 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱的高度为：米， 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 14．(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 15．(1) (2)2米或4米 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． （2）解：将代入， 解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 16．(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，分别求得抛物线的表达式是解题的关键； （1）先求得两点坐标分别为和，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）当时，雨棚高度取最大值，即，得出拱桥所在的抛物线当时，拱桥高度取最大值，即，再求差，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 两点坐标分别为和． 将点的点坐标分别代入， 得， 解得， 防雨棚顶所在抛物线的函数表达式为． （2）由（1）可知，防雨棚所在抛物线的表达式为， 即当时，雨棚高度取最大值，即， 拱桥所在的抛物线近似的满足函数表达式， 即当时，拱桥高度取最大值，即， （米）． 答：防雨棚最高点到桥面最高点的垂直高度差为米． 17．(1) (2)水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． （1）以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为，根据题意可得，，，，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先得到顶点坐标，从而得出，再除以水位上涨速度求解即可； （3）由题意可知，点在抛物线上，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， 由题意可知，，，， ，，，， 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 水位以每天的速度上升， ， 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． 18．(1) (2)长为10m，宽为2m；见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）先求出两个支撑柱之间的距离．进一步求得的长可以为1或2．则有下列2种初步的设计方案：①；②；然后分别验证即可． 【详解】（1）解：由题意，得拱顶最高处点的坐标为，， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴该观景台所在抛物线的函数表达式为； （2）解：令，即． 解得． 两个支撑柱之间的距离． 矩形宣传牌的面积为，宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称， 的长可以为1或2． 有下列2种初步的设计方案： ①；②： ． 方案①不合题意． ，此时点到步道的距离为6． 当时，． 此时宣传牌左上方顶点的坐标是．符合题意． 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$